人教A版高中同步学案数学必修第二册精品课件 第6章 平面向量及其应用 学习单元4 6.4.3 第2课时 正弦定理.pptVIP

6.4.3余弦定理、正弦定理第2课时正弦定理

学习目标1.掌握正弦定理及其变形.(数学抽象)2.借助向量的运算,探究正弦定理的证明过程.(逻辑推理)3.掌握三角形正弦面积公式及其应用.(数学运算)4.能应用正弦定理解决相关问题,并能综合应用正弦定理和余弦定理解决问题.(逻辑推理、数学运算)

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基础落实·必备知识全过关

知识点一:正弦定理1.定义:

名师点睛正弦定理解三角形的常见类型(1)已知三角形的两边及一边所对的角,求剩余的边和角.(2)已知两角和任一边,求另外两边和一角.

微思考1.从方程的角度分析,正弦定理涉及哪些量?这与余弦定理有何异同?据此,对于正弦、余弦定理的适用条件能有何思考?提示正弦定理涉及2个角,2条边;而余弦定理涉及3条边,1个角.从涉及的量的不同,可以明确正弦定理、余弦定理适用的条件不同.提示同弦所对的圆周角相同.

知识点二:正弦定理的变形正弦定理的变形(R为△ABC外接圆的半径)(1)a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC;(3)a∶b∶c=sinA∶sinB∶sinC.

微思考1.通过正弦定理的变形,可以容易地把边化成角,也可以把角化成边,这对于运算有什么作用?2.在△ABC中有acosB+acosC=b+c,既有边又有角.一般情况下,边角应该统一,可以如何化简?提示在化简既有边又有角的关系式时,一般的策略是边角统一,利用正弦定理比较方便.由正弦定理可得:sinAcosB+sinAcosC=sinB+sinC=sin(A+C)+sin(A+B).

知识点三:三角形的面积公式在△ABC中,若a,b,c所对的角分别是A,B,C,名师点睛三角形面积公式的其他形式(2)S△ABC=2R2sinAsinBsinC,其中R为△ABC的外接圆半径;(3)S△ABC=(a+b+c)r,其中r为△ABC的内切圆半径.

微思考如何利用三角形面积公式求三角形内切圆的半径?提示把内心与三角形的三个顶点相连,则一个三角形分割为三个小三角形,这三个小三角形的高相等,都是内切圆的半径r.根据三角形面积相等,可列出S△ABC=(a+b+c)r,进而求出内切圆半径r.

重难探究·能力素养全提升

问题1从几何上考虑,正弦定理与初中学过三角形的什么性质是对应的?问题2余弦定理涉及三角形中三边一角四个量的问题,可以“知三求一”解三角形.若三角形中已知两边两角四个量,能否解三角形?

探究点一已知两角和两边中的三个量解三角形问题3解三角形若涉及两边两角四个量,要“知三求一”,可以已知哪些量?求什么量?【例1】在△ABC中,已知B=30°,C=105°,b=4,解三角形.解因为B=30°,C=105°,所以A=180°-(B+C)=180°-(30°+105°)=45°.

规律方法已知两角及一边解三角形的方法(1)若所给边是已知角的对边,可先由正弦定理求另一边,再由三角形的内角和求出第三个角,最后由正弦定理求第三边.(2)若所给边不是已知角的对边,则先由三角形内角和求第三个角,再由正弦定理求另外两边.

【例2】在△ABC中,已知a=2,b=,A=45°,解三角形.

规律方法已知三角形的两边和其中一边的对角时解三角形的方法(1)由正弦定理求出另一边所对的角的正弦值,当然,也可由余弦定理求出第三边.选择什么方法,需要根据运算的难易程度去决定.(2)当已知的角为大边所对的角时,由三角形中“大边对大角,大角对大边”的法则能判断另一边所对的角是锐角还是钝角.(3)当已知的角为小边所对的角时,不能判断另一边所对的角为锐角,这时由正弦值可求得两个角,要分类讨论.

探究点二判断三角形的形状问题4三角形是一个几何图形,那么如何通过代数运算判断三角形的形状?【例3】在△ABC中,若(a-ccosB)sinB=(b-ccosA)sinA,判断△ABC的形状.解(方法一)∵(a-ccosB)sinB=(b-ccosA)sinA,∴由正弦定理、余弦定理的推论,得整理,得(a2+b2-c2)b2=(a2+b2-c2)a2,即(a2-b2)(a2+b2-c2)=0,∴a2+b2-c2=0或a2=b2.∴a2+b2=c2或a=b.故△ABC为直角三角形或等腰三角形.

(方法二)根据正弦定理,原等式可化为(sinA-sinCcosB)sinB=(sinB-sinCcosA)sinA,即sinCcosBsinB=sinCcosAsinA.∵sinC≠0,∴sinBcosB=sinAcosA.∴sin2B=si