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加强公式教学，发展学生思维

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摘要：本文通过详细举例，深刻剖析了加强数学公式教学对发展学生思维的重要性，旨在引起广大数学教师对公式教学的重视。

关键词：公式推导公式理解公式变形应用派生公式应用发展学生思维

在数学课的教学中常发现有许多学生对数学公式往往是一知半解，应用也只会生搬硬套。不掌握公式的结构特征，不熟悉公式的变化形态和推导过程，不领会渗透在公式中的数学思想与方法，从而影响了基础知识的掌握和基本能力的形成，更为严重的是不利于学生创新思维能力的培养。为此，针对上述问题，结合近几年的教学经验谈谈自己的粗浅认识。

一、注重公式推导的过程和方法

在公式教学中一些片面的做法是只重视公式结论的教学，忽视了公式证明方法和证明过程的教学，结果使学生只知其然而不知其所以然；既影响了学生对公式的掌握和运用，又影响了学生思维能力的培养。教学实践告诉我们，公式的推理论证方法本身就是十分重要的教学方法，体现着重要的数学教学思想，公式推证过程的教学更是暴露思维过程、创设思维情境、培养学生思维能力的重要途径。

教材的编写者独具匠心，将课本的培养性体现在公式的教学中。如等差数列、等比数列前n项和公式，其推证方法很多，但教材却选取了有普遍应用性的两种方法，倒序相加法和退位相减法，不仅能使学生牢固掌握公式的结论，而且能开阔学生的解题思路，培养学生思维的灵活性。

如：1.求证：C1n+2C2n+…+nCnn=n·2n-1；2.求和：1+3a+5a2+（2n-1）an-1等问题，用上述的倒序相加法和退位相减法就十分容易。再如组合数公式性质的证明，课本不仅给出了计算性证明，而且从组合的意义给出了解释。这种解释的实质就是使学生认识到有关组合数的问题的解决，除了用组合公式外，也可构造“组合模型”证明。所以在公式的教学中就必须既要重视公式结论的教学，又要重视推导过程和方法的教学，从而提高学生理解公式、灵活运用公式的能力，形成深刻、广泛、灵活、流畅的思维品质。

二、深刻理解公式中字母的意义

数学公式反映了数学对象的属性之间的关系，公式中的字母则是数学对象的具体量的代表。在不同的数学公式中对字母有不同的限制，但字母却始终具有较广泛的代表性。它不仅可以代表具体的数字，而且可以代表代数式。只要符合公式的要求与限制，任何代数式均可代入公式进行运算。

例如，三角公式sin2x+cos2x=1表示任意实数，因此可用千姿百态的表示实数的式子代换公式中的x，如：sin2(x-1)+cos2(x-1)=1，sin2(2α+30°)+cos2(2α+30°)=1，等等，均是成立的。公式中的字母从其表示形式上看又具有相对性，如三角中的和、差、倍、半角公式，和角、差角、倍角、半角从其表示形式而言是相对的。

在具体问题中应有具体的内容，例如根据需要，单角α可以变成和角(α-β)+β或差角(α+β)-β；和角α+β也可变成2·（）；等等。但学生在这些公式的学习中往往认识不到这一点，只是局限于公式中字母表示具体角的表象认识。所以在公式的教学中就必须使学生深刻理解公式中字母代表意义的广泛性和表示形式的相对性，通过对公式中字母的各类变换，强化这方面的训练。

三、加强公式的逆用、变形用训练

教学中常发现有些学生对公式的应用只会从左到右的“左撇子”现象，形成一种思维定势，影响了公式应用的灵活性，其根本原因是我们忽视了学生发散思维能力的培养。因此，为了全面发展学生的思维能力，在公式教学中就必须加强公式的逆用、变形用这几方面的训练，彻底改变从左向右推导，从左向右应用的单向性做法，在公式教学的各个环节进行多角度、全方位的透视，对公式的推证不仅要顺推，而且要逆推；不仅要用综合法而且要用分析法、反证法等多种方法证明。对公式的认识不仅要明确公式中数量之间的关系，而且应熟悉公式的结构特征，熟知公式的变换功能。

例如，在三角公式的教学中就必须使学生明确认识到：诱导公式的功能是化任意角三角函数为锐角三角函数；八个基本恒等式的功能是同角的各类三角函数实现相互转化；积化和差、和差化积公式的功能是进行运算关系的转化；等等。组合公式Cnm+Cnm+1=Cn+1m+1，从左到右具有消项功能变两项为一项，从右到左具有拆项功能把一项分为两项，用此公式证明等式Cn-1m+Cn-2m+…+Cm+1m+=Cmm=Cnm+1就既可以从右边推出左边，又可以从左边推出左边。

四、掌握派生公式的应用

所谓派生公式在此指由一些已知公式所推导出来的重要结论和在课本中一些具有重要的工具性效应的习题结论。它们虽然未能跻身于课本的公式之列，但却具有强效的应用功能。

例如三角公式cos2θ=cos2θ-sin2θ的推论：cos2θ=，sin2θ=具有降幂、升幂的功能，在解答下列问题：1.化简y=1-cos2θ+1+cos2θ;2.求y=sin