人教A版高中同步学案数学精品课件必修第一册精品课件 第5章 三角函数 5.5.1 第2课时 两角和与差的正弦、余弦、正切公式.pptVIP

第五章5.5.1第2课时两角和与差的正弦、余弦、正切公式

基础落实·必备知识一遍过重难探究·能力素养速提升目录索引学以致用·随堂检测促达标

学习目标1.能从两角差的余弦公式推导出两角和与差的正弦、余弦、正切公式,了解它们的内在联系.(逻辑推理)2.能运用两角和与差的正弦、余弦、正切公式进行简单的化简、求值.(数学运算)

基础落实·必备知识一遍过

知识点一:两角和与差的正弦和余弦公式名称公式简记符号使用条件两角和的余弦公式cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβC(α+β)α,β∈R两角和的正弦公式sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβS(α+β)α,β∈R两角差的正弦公式sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβS(α-β)α,β∈R

名师点睛两角和与差的正弦公式的记忆方法记忆口诀:正余余正,符号相同.“正余余正”表示展开后的两项分别是两角的正弦乘余弦、余弦乘正弦;“符号相同”表示展开后两项之间的连接符号与展开前两角之间的连接符号相同,即两角和时用“+”,两角差时用“-”.

微思考你能作出角的和差公式的逻辑联系框图吗?

知识点二:两角和与差的正切公式

名师点睛公式的右边为分式形式,其中分子为tanα,tanβ的和或差.分母为1与tanαtanβ的差或和.公式中左边的加减号与右边分子上的加减号相同,与分母上的加减号相反.符号变化规律可简记为“分子同,分母反”.当α,β,α±β角的正切值不存在时,不能使用上述公式,但可以用诱导公式或其他方法解题.

重难探究·能力素养速提升

问题1有了负数以后,和与差是可以相互转化的,如a+b=a-(-b).可否据此,由两角差的余弦公式推导两角和的余弦公式?问题2余弦与正弦可以通过余角相互转化,可否据此由两角和与差的余弦公式推导出两角和与差的正弦公式?问题3我们知道,如何利用这个公式,由两角和、差的正、余弦公式推导两角和、差的正切公式?

探究点一化简与求值问题4公式应用有时并不能直接套用,如何发现式子的结构特征、角与角之间的关系,以便利用公式化简?【例1】化简:(1)sin(α-β)cosβ+cos(α-β)sinβ;解(1)sin(α-β)cosβ+cos(α-β)sinβ=sin[(α-β)+β]=sinα.

规律方法公式的巧妙运用公式有顺用、逆用、变用.变用涉及两个方面,一个是公式本身的变用,如cos(α+β)+sinαsinβ=cosαcosβ,一个是角的变用,也称为角的拆分变换,如α=(α+β)-β,2α=(α+β)+(α-β)等,从某种意义上来说,是一种整体思想的体现,如cos(α+β)cosβ+sin(α+β)sinβ=cos[(α+β)-β]=cosα.这些需要在平时的解题中多总结、多研究、多留心,唯有如此才能在解题中知道如何选择公式,选择哪一个公式会更好.

探究点二利用两角和与差的三角函数公式解决给值求值问题问题5对于给值求值问题,关键是如何用整体思想来理解已知角?如何构建已知角与所求角的关系?

(1)求sin2α的值;(2)求cosβ的值.

规律方法给值求值的解题策略在解决此类题目时,一定要注意已知角与所求角之间的关系,恰当地运用拆角、凑角技巧,同时分析角之间的关系,利用角的代换化异角为同角,具体做法是:(1)当条件中有两角时,一般把“所求角”表示为已知两角的和或差.(2)当已知角有一个时,可利用诱导公式把所求角转化为已知角.

探究点三利用两角和与差的三角函数公式解决给值求角问题问题6对于给值求角问题,需要通过角对应的三角函数值来确定角,但一个三角函数值对应的角可能有多个,如何正确地确定角的范围?

延伸探究

学以致用·随堂检测促达标

1234

12342.(例2对点题)已知角α,β均为锐角,且cosα=,tan(α-β)=-,则tanβ=.?3

12343.(例2对点题)已知锐角α,β满足,求sinβ的值.

12344.(例3对点题)已知α,β均为锐角,,求α-β.

本课结束