人教A版高中同步学案数学精品课件必修第一册精品课件 第5章 三角函数 5.5.1 第3课时 二倍角的正弦、余弦、正切公式.pptVIP

第五章5.5.1第3课时二倍角的正弦、余弦、正切公式

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学习目标1.能通过两角和的正弦、余弦、正切公式推导出二倍角的正弦、余弦、正切公式.(逻辑推理)2.理解二倍角的正弦、余弦、正切公式的结构形式,并能利用公式进行简单的化简、求值.(数学运算)

基础落实·必备知识一遍过

知识点:二倍角的正弦、余弦、正切公式角度是2倍关系三角函数公式简记正弦sin2α=?S2α余弦cos2α=cos2α-sin2α==?C2α正切tan2α=?T2α2sinαcosα2cos2α-11-2sin2α

名师点睛1.二倍角的“广义理解”:二倍角是相对的,如4α是2α的二倍,α是的二倍等.“倍”是描述两个数量之间的关系的,这里蕴含着换元思想.3.一般情况下,sin2α≠2sinα,cos2α≠2cosα,tan2α≠2tanα.4.倍角公式的逆用能为高次三角函数式降幂,我们要熟悉这组公式的逆用,如sin3αcos3α=sin6α.

微思考二倍角公式有哪些常用的变换?提示(1)因式分解变换.cos2α=cos2α-sin2α=(cosα+sinα)(cosα-sinα).(2)配方变换.1±sin2α=sin2α+cos2α±2sinαcosα=(sinα±cosα)2.(3)升幂变换.1+cos2α=2cos2α,1-cos2α=2sin2α.(4)降幂变换.cos2α=(1+cos2α),sin2α=(1-cos2α),sinαcosα=sin2α.

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问题1对于两角和的三角函数公式,若从一般化往特殊化思考,若两个角相等,相加以后就是二倍角,可否推导正、余弦的二倍角公式?问题2由正、余弦的二倍角公式如何推导正切的二倍角公式?

探究点一利用二倍角公式解决给角求值问题问题3如何发现式子特征,以用二倍角公式将下列各式化简?【例1】求下列各式的值:(2)1-2sin2750°;解原式=cos(2×750°)=cos1500°=cos(4×360°+60°)=cos60°=.

解原式=tan(2×150°)=tan300°=tan(360°-60°)=-tan60°=-.(4)cos20°cos40°cos80°.

规律方法对于给角求值问题,一般有两类:(1)直接正用或逆用二倍角公式,结合诱导公式和同角三角函数的基本关系对已知角进行转化,一般可以化为特殊角.(2)若形式为几个非特殊角的三角函数式相乘,则一般逆用二倍角的正弦公式,在求解过程中,需利用互余关系配凑出应用二倍角公式的条件,使得题目中出现可以连用二倍角的正弦公式的形式.

探究点二利用二倍角公式解决条件求值问题问题4与二倍角有关的给值求值问题,式子间的联系很重要,如何发现?

规律方法解决条件求值问题的方法给值求值问题,注意寻找已知式与未知式之间的联系,有两个观察方向:(1)有方向地将已知式或未知式化简,使求解过程明确;(2)寻找角之间的关系,看是否适合相关公式的使用,注意常见角的变换和角之间的二倍关系.

探究点三利用二倍角公式解决化简与证明问题问题5三角函数式子的化简与证明,一般有哪些基本策略?【例3】(1)化简:cos2(θ+15°)+sin2(θ-15°)+sin(θ+90°)cos(90°-θ).

规律方法1.对于三角函数式的化简,要注意以下两点:(1)三角函数式的化简有四个方向,即分别从“角”“函数名”“幂”“形”着手分析,消除差异.(2)三角函数式的化简,主要有以下几类:①对三角的和式,基本思路是降幂、消项和逆用公式;②对三角的分式,基本思路是分子与分母的约分和逆用公式,最终变成整式或数值;③对二次根式,则需要运用倍角公式的变形形式.在具体过程中体现的则是化归的思想,是一个“化异为同”的过程,涉及切弦互化,即“函数名”的“化同”;角的变换,即“单角化倍角”“单角化复角”“复角化复角”等具体手段.

2.对于无条件的恒等式证明,常采用的方法有化繁为简和左右归一,关键是分析等式两边三角函数式的特点、角度和函数关系,找出差异,寻找突破口;有条件的等式证明,常先观察条件及式中左右两边三角函数式的区别与联系,灵活使用.另外,需注意二倍角公式本身是“升幂公式”,其变形是“降幂公式”,在证明中应灵活选择.

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1231.(例1对点题)求下列各式的值:

123A

123(2)求证:cos2(A+B)-sin2(A-B)=cos2Acos2B.