人教A版高中同步学案数学必修第二册精品课件 第九章 统计 9.2.3 总体集中趋势的估计 9.2.4 总体离散程度的估计 (2).pptVIP

;内容索引;学习目标;基础落实?必备知识全过关;知识点一:众数、中位数、平均数

1.众数:

(1)定义:一组数据中出现次数最多的数据(即频率分布最大值所对应的样本数据)称为这组数据的众数.

(2)特征:众数反映了该组数据的集中趋势.;2.中位数:?一定要注意将数据排序

(1)定义:一组数据按从小到大(或从大到小)的顺序排成一列,处于最中间的一个数据(当数据个数是奇数时)或最中间两个数据的平均数(当数据个数是偶数时)称为这组数据的中位数.

(2)特征:一组数据中的中位数是唯一的,反映了该组数据的集中趋势.在频率分布直方图中,中位数左边和右边的直方图的面积相等.;3.平均数:

(1)定义:一组数据的和与这组数据的个数的商.数据x1,x2,…,xn的平均数为

(2)特征:平均数对数据有“取齐”的作用,代表该组数据的平均水平,任何一个数据的改变都会引起平均数的变化,这是众数和中位数都不具有的性质.所以与众数、中位数比较起来,平均数可以反映出更多的关于样本数据全体的信息,但平均数受数据中极端值的影响较大,使平均数在估计总体时的可靠性降低.;名师点睛三种数字特征的优缺点;微思考

1.众数、中位数、平均数这三个数字特征有何联系及区别?;知识点二:探索图表中的中位数与平均数数值规律

平均数和中位数都描述了数据的集中趋势,它们的大小关系和数据分布的形态有关.在下图的三种分布形态中,平均数和中位数的大小存在什么关系?;一般来说,对一个单峰的频率分布直方图来说,如果直方图的形状是对称的(图1),那么平均数和中位数应该大体上差不多;如果直方图在右边“拖尾”(图2),那么平均数中位数;如果直方图在左边“拖尾”(图3),那么平均数中位数.也就是说,和中位数相比,平均数总是在“长尾巴”那边.?;名师点睛

(1)平均数是频率分布直方图的“重心”,是直方图的平衡点,因此,每个小矩形的面积与小矩形底边中点的横坐标的乘积之和即为平均数的估计值.

(2)根据中位数的意义,在样本中,有50%的个体小于或等于中位数,也有50%的个体大于或等于中位数.因此,在频率分布直方图中,中位数左边和右边的直方图的面积应该相等.;微思考

高一年级某次数学测试题目较??,试估计此次数学测试成绩的平均数与中位数的大小关系,为什么?;知识点三:方差、标准差;标准差;名师点睛

(1)样本标准差反映了各样本数据聚集于样本平均数周围的程度,标准差越小,表明各个样本数据在样本平均数周围越集中;反之,标准差越大,表明各样本数据在样本平均数的周围越分散.(2)若样本数据都相等,则s=0.(3)当样本的平均数相等或相差无几时,就要用样本数据的离散程度来估计总体的数字特征,而样本数据的离散程度,就由标准差来衡量.(4)数据的离散程度可以通过极差、方差或标准差来描述.极差反映了一组数据变化的最大幅度,它对一组数据中的极端值非常敏感;方差则反映了一组数据围绕平均数波动的大小.;(5)因为方差与原始数据的单位不同,且平方后可能夸大了偏差的程度,所以虽然方差和标准差在刻画样本数据的分散程度上是一样的,但当在解决实际问题时,一般采用标准差.(6)在实际问题中,总体平均数和总体标准差都是未知的.就像用样本平均数估计总体平均数一样,通常我们也用样本标准差去估计总体标准差.在随机抽样中,样本标准差依赖于样本的选取,具有随机性.;微思考

1.在教学调查中,甲、乙、丙三个班的数学测试成绩分布如图①②③,假设三个班的平均分都是75分,s1,s2,s3分别表示甲、乙、丙三个班数学测试成绩的标准差,则它们标准差的大小关系如何?;提示所给图是成绩分布图,平均分是75,在图①中,集中在75分附近的数据最多,图③中从50分到100分均匀分布,所有成绩不集中在任何一个数据附近,图②介于两者之间.由标准差的意义可得s3s2s1.;2.现实中的总体所包含的个体数往往是很多的,总体的平均数与标准差是不知道的.如何求得总体的平均数和标准差呢?;知识点四:有关平均数、方差的重要结论

1.若x1,x2,…,xn的平均数是,则mx1+a,mx2+a,…,mxn+a的平均数是.?

2.数据x1,x2,…,xn与数据x1+a,x2+a,…,xn+a的方差.?

3.若x1,x2,…,xn的方差为s2,则ax1,ax2,…,axn的方差为a2s2.;微思考

平均数、标准差、方差的单位相同吗?;重难探究?能力素养全提升;问题1:统计图表能够较好地描述样本的分布规律,并估计总体的分布规律.但有时我们可能更关注总体取值在某一方面的特征,如总体集中趋势、离散程度的估计等,这些特征应以什么统计量来度量?;;【例1】对于数据3,3,2,3,6,3,10,3,6,3,2,有下列结论:

①这组数据的众数是3;

②这组数据的