人教A版高中同步学案数学必修第二册精品课件 第六章 平面向量及其应用 6.4.3 第4课时 余弦定理、正弦定理应用举例 (2).ppt

第4课时余弦定理、正弦定理应用举例第六章

内容索引0102基础落实?必备知识全过关重难探究?能力素养全提升03学以致用?随堂检测全达标

学习目标1.掌握基线、仰角、俯角、方位角、方向角等测量问题中的常用概念.(数学抽象)2.能够运用正弦定理和余弦定理解决与距离、高度、角度有关的“不能到达”类的实际问题.(数学建模、数学运算)

基础落实?必备知识全过关

知识点一:测量问题中的常用概念1.基线:(1)定义:在测量过程中,我们把根据测量的需要而确定的叫做基线.?(2)性质:为使测量具有较高的精确度,应根据实际需要选取合适的.一般来说,基线越长,测量的精确度越.?线段基线长度高

2.仰角和俯角:在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角中,目标视线在水平视线上方时叫做仰角,目标视线在水平视线下方时叫做俯角(如图所示).3.视角:观察物体的两端,视线张开的夹角叫做视角,如图所示.

4.方位角与方向角:(1)方位角:从正北方向顺时针转到目标方向线所成的水平角.如点B的方位角为α,如图1所示.(2)方向角:从指定方向线到目标方向线所成的小于90°的水平角.如南偏西60°,指以正南方向为始边,顺时针方向向西旋转60°,如图2所示.图1图2

微思考若P在Q的北偏东37°方向上,则Q在P的什么方向?提示Q在P的南偏西37°的方向上,如图所示.

知识点二:解决实际测量问题的思路和步骤1.基本思路:

2.一般步骤:(1)分析:理解题意,弄清已知与未知,画出示意图;(2)建模:根据已知条件与求解目标,把已知量与待求量尽可能地集中在有关三角形中,建立一个解三角形的数学模型;(3)求解:利用正弦定理、余弦定理解三角形,求得数学模型的解;(4)检验:检验所求的解是否符合实际问题,从而得出实际问题的解.

微思考海上有A,B两个小岛相距10海里,从A岛望C岛和B岛成60°的视角,从B岛望C岛和A岛成75°的视角,能否依题意画出图形,并求出B,C岛间的距离?

重难探究?能力素养全提升

问题1:如何利用“解三角形”测量一类“不可到达”的距离问题?问题2:如何构建三角形要素,求解测量“跨河”距离问题?

探究点一测量距离问题【例1】如图,一名学生在河岸紧靠岸边笔直行走,开始在A处,经观察,在河的对岸有一参照物C,与学生前进方向成30°角,学生前进200m后到达点B,测得该参照物与前进方向成75°角.(1)求点A与参照物C的距离;(2)求河的宽度.

规律方法三角形中与距离有关的问题的求解策略(1)若所求的线段在一个三角形中,则直接利用正弦定理、余弦定理求解即可;若所求的线段在多个三角形中,要根据条件选择适当的三角形,再利用正弦定理、余弦定理求解.(2)解决与距离有关的问题的关键是转化为求三角形中的边,分析所解三角形中已知哪些元素,还需要求出哪些元素,灵活应用正弦定理、余弦定理来解决.

问题3:如何构建三角形要素,解决测量高度问题?【例2】如图,在某点B处测得建筑物AE的顶端A的仰角为θ,沿BE方向前进30m到点C处,测得顶端A的仰角为2θ,再继续前进10m至点D处,测得仰角为4θ,求θ的大小和建筑物AE的高度.

规律方法测量高度问题的求解策略(1)在测量底部不可到达的建筑物的高度时,可以借助正弦定理或余弦定理,构造两角(两个仰角或两个俯角)和一边或三角(两个方向角和仰角)和一边,如图所示.

(2)解决测量高度问题的一般步骤是:

探究点二测量角度问题问题4:如何利用“解三角形”测量一类动态追及问题?【例3】某渔轮在航行中不幸遇险,发出呼救信号,海军舰艇在A处获悉后,立即测出该渔轮在方位角为45°,距离为10nmile的C处,并测得渔轮正沿方位角为105°的方向,以9nmile/h的速度向某小岛靠拢,海军舰艇立即以21nmile/h的速度前去营救,求舰艇的航向和靠近渔轮所需的时间(角度精确到0.1°).(参考数据:cos68.2°≈)

规律方法测量角度问题画示意图的基本步骤

延伸探究本例中将“渔轮向小岛靠拢的速度”改为“10nmile/h”,将“海军舰艇的速度”改为“10nmile/h”,其他条件不变,求舰艇的航向和靠近渔轮所需要的时间.

学以致用?随堂检测全达标

1.(例1对点题)如图所示,为了测定河的宽度,在一岸边选定两点A,B,望对岸标记物C,测得∠CAB=30°,∠CBA=75°,AB=120m,则河的宽度为m.?答案60

解析如图所示,过点C作CD⊥AB,垂足为D,则CD即为河的宽度.在△ABC中,∠CAB=30°,∠CBA=75°,所以∠ACB=75°,∠ACB=∠ABC,所以AC=AB=120m.

2.(例2