常微分方程 (2)近年原文.doc

深圳大学数学与计算科学学院

课程教学大纲

（2006年10月重印版）

课程编号

课程名称常微分方程

课程类别专业必修

教材名称常微分方程

制订人杨和平

审核曹丽华

2005年4月修订

一、课程设计的指导思想

（一）课程性质

1.课程类别：专业必修课

2.适应专业：数学与应用数学专业（数学教育方向）

3.开设学期：第四学期

4.学时安排：周学时3，总学时54

5.学分分配：3学分

（二）开设目的

常微分方程理论是微积分学的一个分支，它的形成与发展是和力学、天文学、物理学，以及其他科学技术的发展密切相关，从众多的应用科学领域里提出的问题，一旦加以精确的数学描述，往往会出现微分方程，因此微分方程是解决现实问题的重要工具之一；此外，常微分方程与数学的其他分支的关系也是非常密切，它们往往互相联系，互相促进。由此可见，常微分方程是一门纯数学与应用数学相结合的核心课程。通过本课程的学习，使学生掌握常微分方程的基本概念、基本解法与基本理论，培养学生运用解析方法求解问题的能力，为后续的数学课程及其他学科课程的学习打好基础。

（三）基本要求

了解常微分方程的概念，掌握常微分方程的基本解法，理解常微分方程解的存在性及稳定性等理论，培养应用常微分方程解决实际问题的意识及能力。

（四）主要内容

微分方程的概念；一阶微分方程的初等解法；一阶微分方程的解的存在性定理；高阶微分方程；线性微分方程组；非线性微分方程及稳定性。

（五）先修课程

数学分析、高等代数

（六）后继课程

数学建模、微分几何，以及有关研究生课程等

（七）考核方式

闭卷考试

（八）使用教材

王高雄等编《常微分方程》，北京：高等教育出版社出版社，2001年第二版。

（九）参考书目

叶彦谦编《常微分方程讲义》，人民教育出版社，1982年第二版。

二、教学内容

第一章绪论

教学目的

初步了解一些物理过程的微分方程数学模型，引入微分方程的基本概念。

主要内容

第一节微分方程：某些物理过程的数学模型

第二节基本概念

教学要求

了解：了解从物理现象到常微分方程的数学建模过程。

理解：理解微分方程在解决实际问题所起的重要作用。

掌握：掌握微分方程的基本概念。

第二章一阶微分方程的初等解法

教学目的

认识一阶常微分方程初等解法对常微分方程学习的重要性，弄清一阶常微分方程的分类，学会各种初等解法。

主要内容

第一节变量分离方程与变量变换

第二节线性方程与常数变易法

第三节恰当方程与积分因子

第四节一阶隐方程与参数表示

教学要求

了解：了解各类一阶微分方程之间的相互联系与区别。

理解：理解一阶微分方程初等解法对学习常微分方程的重要性。

掌握：掌握一阶常微分方程的分类及各类方程的初等解法与技巧。

第三章一阶微分方程的解的存在定理

教学目的

介绍微分方程理论中几个重要定理：一阶常微分方程解的存在性定理、解的延拓定理、解对初值的连续性和可微性定理，了解奇解的概念及求奇解的两种方法。

主要内容：

第一节解的存在唯一性定理与逐步逼近法

第二节解的延拓

第三节解对初值的连续性和可微性定理

第四节奇解

教学要求

了解：了解奇解的概念及求奇解的两种方法。

理解：理解一阶常微分方程解的存在性定理、解的延拓定理、解对初值的连续性和可微性定理的内容。

掌握：掌握逐步逼近法这一重要的证明方法。

第四章高阶微分方程

教学目的

学习线性微分方程的一般理论和常系数微分方程的解法，简单介绍高阶微分方程的降阶问题及二阶线性方程的幂级数解法。

主要内容：

第一节线性微分方程的一般理论

第二节常系数线性方程的解法

第三节高阶方程的降阶和幂级数解法

教学要求

了解：了解高阶微分方程的降阶方法及二阶线性方程的幂级数解法。

理解：理解高阶线性微分方程的一般理论及线性微分方程解的性质及结构。

掌握：掌握常系数线性微分方程的解法。

第五章线性微分方程组

教学目的

学习线性微分方程组的一般理论和解法，认识到线性微分方程组理论在整个微分方程理论中的重要性，进一步熟悉逐步逼近法。

主要内容：

第一节存在唯一性定理

第二节线性微分方程组的一般理论

第三节常系数线性微分方程组

教学要求

了解：了解线性微分方程组的一般理论及线性微分方程解的代数结构。

理解：理解线性微分方程组解的存在唯一性定理，高阶微分方程与线性微分方程组之间的关系。

掌握：掌握齐线性微分方程组的基解矩阵的求法以及求解非齐线性微分方程组的常数变易法。

第六章非线性微分方程和稳定性

教学目的

初步了解非线性微分方程的稳定性理论与定性理论，为应用微分方程理论解决实际问题及进一步学习微分方程理论奠定基础。

主要内容：

第一节引言