《计算物理学》课件第3章.ppt

由以上方程组中的第二式与第四式可得

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由方程组中的第一式与第三式可得

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因此同样有。根据方程组中第一式与第二式同样可得A0=A1=1。另外，三点高斯求积公式为

(3.29)

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它的代数精度为5。

(3)n≥2时的节点、求积系数及截断误差可类似求得，如表3.1所示。表3.1上面的讨论中，积分区间为［-1，1］，实际计算区间为［a，b］，可采用如下变量替换

(3.30)

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则积分区间［a，b］变为［-1,1］，且积分变为

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(3.31)其中

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(3.32)

【例3.14】利用两点高斯公式求积分

的近似值。解由于a=0，b=1，因此作变换

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可以证明高斯求积法收敛速度快、误差小。以下给出三点高斯法(n=2)的子程序，程序中t和W分别表示节点位置xk及其对应的系数Ak，G为积分结果。

subroutineGauss(a,b,G)

dimensiont(3),W(3)

datat/0.,0.774597,-0.774597/

dataW/0.888889,0.555556,0.555556/G=0.0

do10i=1,3

x=0.5*((b+a)+(b-a)*t(i))

10G=G+W(i)*f(x)

G=0.5*(b-a)*G

return

end3.3.3二维高斯求积法

我们通过以下例题给出二重积分的高斯求积法。

【例3.15】利用高斯求积法计算

解将积分区间R={(x，y)|1.4≤x≤2.0，1.0≤y≤1.5}变换到R′={(u，v)|-1≤u≤1，-1≤v≤1}，即有

(3.33)因此有

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使用n=2的三点高斯求积公式，有

u0=v0=-0.7745967，u1=v1=0，u2=v2=0.7745967

A0=A2=0.5555556，A1=0.8888889积分结果为

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3.1分别利用矩形法、梯形法、抛物线法编程计算下面定积分(N=1000)

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习题三3.2对圆盘轴线上一点电场强度E的大小可以表示为

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采用解析法和三种基本数值方法编程计算E的大小，分别取(1)R1，R2/0.01，1m;(2)R1，R2/0.01，10m，其中σ=0.5，x=0.01，观察E随R2的变化。3.3Cornu曲线是平面曲线，在平面直角坐标系中它的参数方程为

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取a=1，-4.5≤s≤4.5，编程计算并绘制该曲线。3.4一个枪管长0.6096m，膛孔面积为4.56×10-5m2，子弹重量为0.0956N。发火后，气体压强随子弹在膛内的运动而变化，压强P的单位为GPa，距离x的单位为m，P=P(x)的函数关系如下表所示。根据能量守恒原理，子弹出枪时的速度满足

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试用辛普森公式计算子弹出枪管时的速度。3.5结合理想气体平衡状态下的麦克斯韦速率分布律，利用辛普森法计算0℃下氮气、氧气分子运动的平均速率

和方均根速率，并与解析解，

作比较，其中M是气体的摩尔质量，R=8.31，为摩尔气体常数。3.6若椭圆方程为，则椭圆周长的计算公式为

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利用辛普森法和变步长辛普森法计算椭圆

的周长。3.7应用变步长辛普森法编程计算积分

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此积分值称为Catalan常数，G的真值为0.915965。要求误差不超过10-5。

3.8应用龙贝格法计算积分

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要求误差不超过10-5。3.9用3点及5点高斯求积公式编程计算积分并与梯形法、辛普森法作比较。

3.10用4点高斯求积公式编程计算积分

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3.11用n=2，4的高斯求积公式编程计算

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【例3.11】我国第一颗人造地球卫星轨道是一个椭圆，椭圆周长s的