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苏教版2015-2016高二年级数学期中考试〔有答案〕
一、填空题〔每空5分，共70分〕
1．命题“假设，那么”的逆否命题是▲．
2．复数的虚部为▲．
3．抛物线的焦点坐标为▲．
4．函数的单调减区间是▲.
5．中，，，，那么等于▲.
6．在等比数列中，假设，，那么的值等于▲.
7．假设双曲线C的渐近线方程为，且经过点，那么C的标准方程为▲．
8．假设“”是“”的充分不必要条件，那么实数a的取值范围是▲．
9．椭圆短轴两端点与两个焦点构成一个正方形，那么椭圆的离心率是▲.
10．，，，，，那么第个等式为▲．
11．设曲线上任一点处的切线的倾斜角为，那么的取值范围是▲.
12．假设在区间上是增函数，那么实数的取值范围是▲.
13．，那么▲.
14．假设实数，满足〔〕，那么的最小值为▲.
二、解答题〔共90分〕
15．〔本小题总分值14分〕
在中，角的对边分别为．成等差数列，且．
〔1〕假设，求.
〔2〕求面积的最大值．
16．〔本小题总分值14分〕
，.
〔1〕求函数的解析式.
〔2〕求函数在的最大值和最小值；
17．〔本小题总分值14分〕
数列满足：，，数列满足．
〔1〕假设是等差数列，且，求的值及的通项公式；
〔2〕假设是等比数列，求的前项和．
18.〔本小题总分值14分〕
如图，在平面直角坐标系中，分别是椭圆的左、右焦点，顶点的坐标为，连结并延长交椭圆于点A，过点A作轴的垂线交椭圆于另一点C，连结．
F1F2OxyB
F1
F2
O
x
y
B
C
A
〔第17题〕
〔2〕假设，求椭圆离心率e的值．
19.〔本小题总分值14分〕
正项数列的前项和满足
〔1〕求数列的通项公式；
〔2〕设，数列的前项和，求证：
20．〔本小题总分值16分〕
函数，，其中．
〔1〕当时，求曲线在点处的切线方程；
〔2〕假设存在，使得成立，求实数M的最大值；
2015-2016学期高二数学期中试卷答案
15．〔1〕因为成等差数列，所以，
又，．………………〔2分〕
根据正弦定理，得，即．
解之，得．………………〔8分〕
〔2〕根据余弦定理，得，
由〔1〕知，，，
于是，，……〔10分〕
根据根本不等式，，得，
所以，当且仅当a=c时，取“=”．………〔12分〕
所以．………〔14分〕
16．〔1〕，
由题意，得解之，得
因此．〔2〕，令得．
列表如下：
4
1
3
4
／
+
0
-
0
+
／
25
↗
2
↘
↗
由上表知，．
17．解：〔1〕因为是等差数列，，，……2分
，解得或〔舍去〕，……………5分
．……7分
〔2〕因为是等比数列，，，．…………9分
当时，，；……11分
当时，．……14分
18.解：设椭圆的焦距为，那么，．
〔1〕因为，所以．
又，故．
因为点在椭圆上，所以．解得．
故所求椭圆的方程为．
〔2〕因为，在直线上，所以直线的方程为．
解方程组得
所以点A的坐标为．
又AC垂直于轴，由椭圆的对称性，可得点C的坐标为．
因为直线的斜率为，直线的斜率为，
且，所以．又，整理得．
故．因此．
19.解析：〔1〕首先求：依题意及，解得；
当时，得，
两式分别平方后相减得，化简后得，
所以，数列是以为首项，为公差的等差数列，；
〔2〕因为，所以，由〔1〕得，
所以，其前项和
20．解：〔1〕当时，，，
，，
所以所求切线方程为，即．………………2分
〔2〕，．令，得，．
当x变化时，与的变化情况如下：
x
0
2
－
0
＋
极小值
1
所以，．
因为存在，使得成立，
所以．所以实数M的最大值为．……………8分
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