考向41-离散型随机变量的分布列与数字特征(六大经典题型)(原卷版).docx

离散型随机变量的分布列与数字特征

知识点一．离散型随机变量的分布列

1、随机变量

在随机试验中，我们确定了一个对应关系，使得每一个试验结果都用一个确定的数字表示．在这个对应关系下，数字随着试验结果的变化而变化．像这种随着试验结果变化而变化的变量称为随机变量．随机变量常用字母，，，，…表示．

注意：

（1）一般地，如果一个试验满足下列条件：①试验可以在相同的情形下重复进行；②试验的所有可能结果是明确可知的，并且不止一个；③每次试验总是恰好出现这些可能结果中的一个，但在一次试验之前不能确定这次试验会出现哪个结果．这种试验就是随机试验．

（2）有些随机试验的结果虽然不具有数量性质，但可以用数来表示．如掷一枚硬币，表示反面向上，表示正面向上．

（3）随机变量的线性关系：若是随机变量，，是常数，则也是随机变量．

2、离散型随机变量

对于所有取值可以一一列出来的随机变量，称为离散型随机变量．

注意：

（1）本章研究的离散型随机变量只取有限个值．

（2）离散型随机变量与连续型随机变量的区别与联系：①如果随机变量的可能取值是某一区间内的一切值，这样的变量就叫做连续型随机变量；②离散型随机变量与连续型随机变量都是用变量表示随机试验的结果，但离散型随机变量的结果可以按一定的次序一一列出，而连续型随机变量的结果不能一一列出．

3、离散型随机变量的分布列的表示

一般地，若离散型随机变量可能取的不同值为，取每一个值的概率，以表格的形式表示如下：

我们将上表称为离散型随机变量的概率分布列，简称为的分布列．有时为了简单起见，也用等式，表示的分布列．

4、离散型随机变量的分布列的性质

根据概率的性质，离散型随机变量的分布列具有如下性质：

（1），；（2）．

注意：

①性质（2）可以用来检查所写出的分布列是否有误，也可以用来求分布列中的某些参数．

②随机变量所取的值分别对应的事件是两两互斥的，利用这一点可以求相关事件的概率．

知识点二．离散型随机变量的均值与方差

1、均值

若离散型随机变量的分布列为

称为随机变量的均值或数学期望，它反映了离散型随机变量取值的平均水平．

注意：（1）均值刻画的是取值的“中心位置”，这是随机变量的一个重要特征；

（2）根据均值的定义，可知随机变量的分布完全确定了它的均值．但反过来，两个不同的分布可以有相同的均值．这表明分布描述了随机现象的规律，从而也决定了随机变量的均值．而均值只是刻画了随机变量取值的“中心位置”这一重要特征，并不能完全决定随机变量的性质．

2、均值的性质

（1）（为常数）．

（2）若，其中为常数，则也是随机变量，且．

（3）．

（4）如果相互独立，则．

3、方差

若离散型随机变量的分布列为

则称为随机变量的方差，并称其算术平方根为随机变量的标准差．

注意：（1）描述了相对于均值的偏离程度，而是上述偏离程度的加权平均，刻画了随机变量与其均值的平均偏离程度．随机变量的方差和标准差均反映了随机变量取值偏离于均值的平均程度．方差或标准差越小，则随机变量偏离于均值的平均程度越小；

（2）标准差与随机变量有相同的单位，而方差的单位是随机变量单位的平方．

4、方差的性质

（1）若，其中为常数，则也是随机变量，且．

（2）方差公式的变形：．

1、用定义法求离散型随机变量的分布列及均值、方差的步骤：

（1）理解的意义，写出可能取的全部值；

（2）求取每个值的概率；

（3）写出的分布列；

（4）由均值的定义求．

2、求离散型随机变量的分布列一般要涉及到随机变量概率的求法，求概率时一定要弄清相应的概率类型（古典概型、相互独立事件的概率、独立重复实验、条件概率）．

（1）利用古典概型求事件A的概率，关键是要分清基本事件总数n与事件A包含的基本事件数m．如果基本事件的个数比较少，可用列举法把古典概型试验所含的基本事件一一列举出来，然后再求出事件A中的基本事件数，利用公式求出事件A的概率，注意列举时必须按照某一顺序做到不重不漏；如果基本事件个数比较多，列举有一定困难时，也可借助两个计数原理及排列组合知识直接计算m，n，再运用公式求概率．

（2）较为复杂的概率问题的处理方法有：

①转化为几个互斥事件的和，利用互斥事件的加法公式求解；

②采用间接法，先求事件A的对立事件的概率，再由求事件A的概率．

3、高考对离散型随机变量的均值与方差的考查主要有以下三个命题角度：（1）已知离散型随机变量符合条件，求其均值与方差；（2）已知离散型随机变量的均值与方差，求参数值；（3）已知离散型随机变量满足两种方案，试作出判断．利用随机变量的期望与方差可以帮助我们作出科学的决策，品种的优劣、仪器的好坏、预报的准确与否等很多问题都与这两个特征两量有关．若我们希望实际的平均水平较理想，则先求随机变量，的期望，当时，不应认为它们一定一样好，需要用来比较这两个随机变量