2023—2024学年上海市华东师范大学第二附属中学高一下学期期末考试数学试卷.docVIP

2023—2024学年上海市华东师范大学第二附属中学高一下学期期末考试数学试卷

一、填空题

(★)1.是第_____________象限角，

(★)2.复数_____．

(★★)3.函数的最大值是______.

(★)4.已知，且，则______．

(★★)5.已知是实系数方程的一个虚根，则______．

(★★★)6.已知等比数列满足，，则______．

(★★★)7.已知，则在上的数量投影是______．

(★)8.在中，，则______．

(★★)9.已知复数z满足，则的最大值为___________.

(★★★)10.等差数列的前项和分别是，若，则______．

(★★★)11.若函数在上严格减，则正实数的取值范围是______．

(★★★★★)12.已知平面向量，，，，满足，，，则的最大值为______.

二、单选题

(★★)13.“”是“是纯虚数”的（）条件

A．充分不必要

B．必要不充分

C．既不充分也不必要

D．充要

(★★)14.若不平行，则下列向量中不能作为平面的一个基底是（）

A．与

B．与

C．与

D．与

(★★★)15.在中，，则（）

A．

B．

C．或

D．以上答案均不正确

(★★★★)16.已知是定义在复数集上的次实系数多项式（是正整数），给出下列两个命题：

①如果虚数是的根，即，那么也是的根，即；

②可以因式分解成若干一次或二次实系数多项式的乘积；

则下列说法正确的是（）

A．命题①②都是真命题

B．命题①②都是假命题

C．命题①是真命题，命题②是假命题

D．命题①是假命题，命题②是真命题

三、解答题

(★★)17.已知函数.

（1）求的最小正周期和单调递增区间.

（2）当时，求的最值.

(★★★)18.在数列中，已知．

(1)求的通项公式；

(2)计算：．

(★★★)19.在复数范围解方程．

(1)关于的实系数一元二次方程的两根满足，求实数的值；

(2)关于的实系数一元二次方程的两根，请根据实数的不同取值范围讨论的值．

(★★★)20.在中，，平面上的点满足，，动点在线段上（不含端点）．

(1)设，用含有的式子表示；

(2)设，求的最小值；

(3)求的最小值．

(★★★)21.一个如果定义在上的函数使得，则称是一个元置换，可以用一个的数表来简单表示，例如表示一个4元置换，对于一个元置换和，按照的递推关系定义的数列称为关于生成的数列．

(1)对于3元置换，直接写出2关于的生成数列的前四项；

(2)给出两条新定义：

①对于一个数列，如果存在正整数，使得对于任意正整数，都有，则称是一个周期数列，并称是的一个周期；

②对于一个元置换，如果存在正整数，使得对任意，都是关于的生成数列的一个周期，则称是元置换的一个周期．

对于5元置换，求的一个周期；

(3)王老师有一个特制机关盒和一把特制钥匙，锁孔内部有10个互不相同的可移动的凹槽，钥匙上有10个对应的固定的齿，必须所有的齿与对应的凹槽同时匹配后，再按下开关，才能打开机关盒，钥匙每顺时针转动一圈，就会按照某个10元置换运作，将在第个位置的凹槽转移到第个位置上．机关盒原本处于打开状态，但一位贪玩的同学将机关盒关上后，又把钥匙顺时针转动了一圈，且操作不当弄坏了零件，导致钥匙只能继续顺时针转动，而且只有一次按下开关的机会，如果按下开关时所有的齿与凹槽没有匹配上，机关盒就会彻底报废．问：王老师还有办法打开机关盒吗？他要至少继续顺时针转动钥匙多少次，才能保证能打开机关盒？