备战2025高考数学一轮复习第七章 §7.5 空间直线、平面的垂直.docxVIP

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一、单项选择题

1.若平面α,β满足α⊥β,α∩β=l,P∈α,P?l,则下列命题中是假命题的为()

A.过点P垂直于平面α的直线平行于平面β

B.过点P垂直于直线l的直线在平面α内

C.过点P垂直于平面β的直线在平面α内

D.过点P且在平面α内垂直于l的直线必垂直于平面β

2.若P是△ABC所在平面外一点,且PA⊥BC,PB⊥AC,则点P在△ABC所在平面内的射影O是△ABC的()

A.内心 B.外心

C.重心 D.垂心

3.如图,在斜三棱柱ABC-A1B1C1中,∠BAC=90°,BC1⊥AC,则C1在底面ABC内的射影H必在()

A.直线AB上 B.直线BC上

C.直线AC上 D.△ABC内部

4.(2023·景德镇模拟)已知m,n为两条不同的直线,α,β为两个不同的平面,则下列命题错误的是()

A.若m⊥α,n⊥β,且α∥β,则m∥n

B.若m⊥α,n∥β,且α∥β,则m⊥n

C.若α∥β,m?α,n?β,则m∥n

D.若m⊥α,n⊥β,且α⊥β,则m⊥n

5.刘徽注《九章算术·商功》“斜解立方,得两堑堵.斜解堑堵,其一为阳马,一为鳖臑.阳马居二,鳖臑居一,不易之率也.合两鳖臑三而一,验之以棊,其形露矣.”如图1解释了由一个长方体得到“堑堵”“阳马”“鳖臑”的过程.堑堵是底面为直角三角形的直棱柱;阳马是一条侧棱垂直于底面且底面为矩形的四棱锥;鳖臑是四个面都为直角三角形的四面体.

在如图2所示由正方体ABCD-A1B1C1D1得到的堑堵ABC-A1B1C1中,当点P在下列三个位置:A1A中点,A1B中点,A1C中点时,分别形成的四面体P-ABC中,鳖臑的个数为()

A.0B.1C.2D.3

6.在正三棱锥A-BCD中,二面角A-BC-D的平面角为60°,则AC与平面BCD所成角的正切值为()

A.eq\r(3)B.eq\f(\r(3),3)C.eq\f(\r(3),2)D.1

二、多项选择题

7.在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是矩形,PA⊥平面ABCD,点E,F分别是棱PA,PB的中点,则下列结论正确的是()

A.CD⊥PD

B.AB⊥PC

C.平面PBD⊥平面PAC

D.E,F,C,D四点共面

8.如图,在直角梯形ABCD中,AB∥CD,AB⊥BC,BC=CD=eq\f(1,2)AB=2,E为AB的中点,以DE为折痕把△ADE折起,使点A到达点P的位置,且PC=2eq\r(3).则下列说法正确的有()

A.CD⊥平面EDP

B.四棱锥P-EBCD外接球的体积为4eq\r(3)π

C.二面角P-CD-B的大小为eq\f(π,4)

D.直线PC与平面EDP所成角的正切值为eq\r(2)

三、填空题

9.在正方体ABCD-A1B1C1D1的六个面中,与AA1垂直的平面有________个.

10.埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一,其形状可视为一个正四棱锥,已知该金字塔的塔高与底面边长的比满足黄金比例,即比值约为eq\f(\r(5)-1,2),则它的侧棱与底面所成角的正切值约为________.

11.如图所示,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥底面ABCD,且底面各边都相等,M是PC上的一动点,当点M满足________时,平面MBD⊥平面PCD.(只要填写一个你认为是正确的条件即可)

12.在长方体ABCD-A1B1C1D1中,已知AB=2,BC=t,若在线段AB上存在点E,使得EC1⊥ED,则实数t的取值范围是________.

四、解答题

13.如图,在四边形ABCD中,AD∥BC,AD=AB,∠BCD=45°,∠BAD=90°.将△ABD沿对角线BD折起,记折起后点A的位置为点P,且使平面PBD⊥平面BCD.

求证:(1)CD⊥平面PBD;

(2)平面PBC⊥平面PCD.

14.如图,四边形PDCE为矩形,四边形ABCD为梯形,平面PDCE⊥平面ABCD,∠BAD=∠ADC=90°,AB=AD=eq\f(1,2)CD=1,PD=eq\r(2).

(1)若M为PA的中点,求证:AC∥平面MDE;

(2)求直线PB与直线CD所成角的大小;

(3)设平面PAD∩平面EBC=l,试判断l与平面ABCD能否垂直?并证明你的结论.

15.(多选)如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,点P在线段B1C上运动,则下列说法正确的是()

A.直线BD1⊥平面A1C1D

B.三棱锥P-A1C1D的体积为定值

C.异面直线AP与A1D所成角的取值范围是eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,4),\f(π,2)))

D.直线C1P与平面A1C1D所成角的正弦值的最大值为eq\f(\r(6),3)

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