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二次根式(第2课时)
教学目标
1.理解二次根式的性质,能运用二次根式的性质进行二次根式的运算和化简.
2.通过类比讲解,让学生经历观察、比较、总结和应用等数学活动,感受数学活动中充满的探索性与创造性,体验发现的快乐,并提高应用的意识.
教学重点
二次根式的性质及其运用.
教学难点
二次根式的性质的灵活应用.
教学过程
知识回顾
下列式子中一定是二次根式的是().
A. B. C. D.
【师生活动】教师提出问题,学生回答.
教师提问:我们知道二次根式中a≥0,那么二次根式还有哪些性质呢?
学生思考,教师引出本节课课题.
【答案】C
【设计意图】通过复习已学过的二次根式知识,教师提出问题,学生交流探讨,激起学生的好奇心,为学习本节课的新知作铺垫.
新知探究
一、探究学习
【思考】(1)当a>0时,_____0;
(2)当a=0时,_____0;
(3)当a≥0时,_____0.
【师生活动】教师提出问题,学生分小组交流,并派代表发言,教师纠错并讲解.
教师分析:当a>0时,表示a的算术平方根,因此>0;当a=0时,表示0的算术平方根,因此=0.这就是说,当a≥0时,≥0.
【答案】(1)>(2)=(3)≥
【新知】二次根式的双重非负性:≥0(a≥0).
注意:(1)几个常见的非负数:,|a|,a2;
(2)若+|b|+c2=0,则a=0,b=0,c=0,即若几个非负数的和等于0,则这几个非负数均为0.
【设计意图】教师先提出三个问题,学生分小组合作交流,激发学生的学习兴趣.教师通过引导学生结合算术平方根的意义思考问题,由此引出二次根式的双重非负性,从而加深学生对新知的理解.
二、典例精讲
【例1】已知,求-xy的平方根.
【师生活动】教师提出问题,学生作答,教师巡查,并纠错.
【答案】解:由题意可得3x+4=0且y-3=0,
解得x=,y=3.
所以.
所以-xy的平方根是±2.
【设计意图】通过例1的练习与讲解,巩固学生对二次根式的双重非负性的理解及应用.
三、探究学习
【探究】根据算术平方根的意义填空:
=________;=_________;
=________;=_________.
【师生活动】教师提出问题,学生分小组交流,并派代表发言,教师进行讲解.
教师提问:算术平方根的定义是什么?
学生回答:如果一个正数x的平方等于a,即x2=a,那么这个正数x叫做a的算术平方根.0的算术平方根是0.
教师分析:是4的算术平方根,根据算术平方根的意义,是一个平方等于4的非负数.因此=4.同理其他均可求出.
【答案】420
【新知】二次根式的性质:一般地,=a(a≥0).
注意:(1)正用公式:如=2,=a2+2;
(2)逆用公式:若a≥0,则a=,如5=.
【设计意图】用算术平方根的定义对问题进行分析,从而引出二次根式的性质,让学生体会从特殊到一般的研究数学问题的思想方法,培养学生用代数语言进行推理的能力,加深学生对二次根式的性质的理解.
四、典例精讲
【例2】计算:
(1); (2).
【师生活动】教师提出问题,学生独立作答.
【答案】解:(1)=1.5;
(2)=22×=4×5=20.
【设计意图】通过例2的练习与讲解,加深学生对所学知识的理解及综合应用.
五、探究学习
【探究】填空:
=________;=_________;
=_______;=_________.
【师生活动】教师提出问题,学生思考并回答,教师总结.
【答案】20.10
【总结】由此可以看出:=a(a≥0).
【探究】填空:
=________;=_________.
【师生活动】教师提出问题,学生分小组交流.
教师提示:可以先分别计算和.
学生根据提示作答,教师总结:由此可以看出:=-a(a<0).
【答案】3
【新知】二次根式的性质:一般地,=|a|=
化简形如的式子时,先转化为|a|,再根据a的符号去掉绝对值符号,如=|π-4|=4-π.
六、典例精讲
【例3】化简:
(1); (2).
【师生活动】教师提出问题,学生独立作答.
【答案】解:(1)==4;
(2)==5.
【设计意图】通过例3的练习与讲解,加深学生对所学知识的理解及应用.
课堂小结
板书设计
二次根式的性质
课后任务
完成教材第4页练习第1~2题.
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