人教A版高中同步学案数学必修第二册精品课件 第6章 平面向量及其应用 学习单元2 6.2.1 向量的加法运算.pptVIP

;数有了运算才威力无穷.类似地,引入向量后也要研究其运算.本单元学习平面向量的运算,主要包括向量的线性运算和向量的数量积.向量的线性运算包括向量的加法、向量的减法、向量的数乘运算.加法运算是基本运算,减法运算是向量加法运算的逆运算,它们有各自的几何意义,并且可以互相统一;向量的数乘运算有很强的几何意义.向量的数量积运算结果是实数,它不仅满足交换律,而且对加法满足分配律.向量数量积可以刻画两个向量的夹角和向量的长度(可以看成两点间的距离),而距离和角又是刻画几何元素(点、线、面)之间度量关系的基本量,因此,向量数量积在解决平面几何问题中发挥着独到的作用.这是本单元的学习明线,具体结构如下图所示.;在向量运算的学习过程中,学会用向量运算来解决物理问题或几何问题,并在此过程中逐步体会“三步曲”——用向量方法解决平面几何问题的步骤:

(1)建立平面几何与向量的联系,用向量表示问题中涉及的几何元素,将平面几何问题转化为向量问题;(2)通过向量运算,研究几何元素之间的关系,如距离、夹角等问题;(3)把运算结果“翻译”成几何关系.本单元培养逻辑推理、数学运算和直观想象素养.;学习目标;基础落实·必备知识全过关;;知识点一:向量的加法及其运算法则

1.向量加法的定义:求两个向量的运算,叫做向量的加法.两个向量的和仍然是一个向量.?;3.如图所示,以同一点O为起点的两个已知向量a,b,以OA,OB为邻边作?OACB,则以O为起点的?(OC是?OACB的对角线)就是向量a与b的和.这种作两个向量和的方法叫做向量加法的平行四边形法则.

4.向量加法的三角形法则与平行四边形法则的记忆口诀:

(1)三角形法则:作平移,首尾连,由起点指终点;

(2)平行四边形法则:作平移,共起点,四边形,对角线.

5.规定:对于零向量与任意向量a,规定:a+0=0+a=a.;名师点睛

向量加法的平行四边形法则和三角形法则的区别与联系

(1)区别:①三角形法则中强调“首尾相接”,平行四边形法则中强调“共起点”;

②三角形法则适用于所有的两个非零向量求和,而平行四边形法则仅适用于不共线的两个向量求和.

(2)联系:三角形法则作出的图形是平行四边形法则作出图形的???半,当两个向量不共线时,两种加法法则在本质上是一致的.;微思考

1.当向量a,b是两个非零的共线向量时,如何求两个向量的和向量?;2.向量加法运算时,用三角形法则或平行四边形法则的两向量有怎样的几何特征?;知识点二:向量加法的运算律

1.向量加法的交换律:a+b=.?

2.向量加法的结合律:=a+(b+c).?

微思考;知识点三:|a+b|与|a|,|b|之间的关系

对任意两个向量a,b,有|a+b|≤|a|+|b|,当且仅当a,b方向相同时等号成立.

名师点睛

当a与b不共线时,|a+b||a|+|b|的几何意义为“三角形两边之和大于第三边”.

微思考

若从A地到B地距离为8,B地到C地距离为5,则从A地到C地位移的最大值为多少?;;问题1明确了数学研究对象的概念以后,后续就应该研究其运算、性质及应用.只有有了运算,数学研究对象才能发挥出其威力,比如数的运算.所以,对于向量,你能否类比数的运算进行研究?

问题2向量概念源于物理学,所以向量运算也有相应的物理背景.能否借助物理背景中位移的合成、力的合成,思考向量的运算?;;规律方法求作和向量的方法

(1)利用三角形法则.在平面内任取一点,以该点为起点,将两向量平移到首尾相接,从该起点到另外一个终点的向量就是这两个向量的和.一定要注意首尾相接.

(2)利用平行四边形法则.在平面内任取一点,从此点出发分别作两个向量等于已知向量,以这两个向量所在线段为邻边作平行四边形,以所取的点为起点的对角线所对应的向量就是这两个向量的和.;;规律方法解决向量加法运算时应关注两点:

(1)可以利用向量的几何表示,画出图形进行化简或计算.

(2)要灵活运用向量加法运算律,注意各向量的起点、终点及向量起点、终点字母的排列顺序,特别注意勿将0写成0.;【例3】如图所示,四边形ABDC为等腰梯形,AB∥CD,AC=BD,CD=2AB,E为CD的中点.化简:;解由已知得四边形ACEB,四边形ABDE均为平行四边形.;规律方法解决用几何图形表示的向量加法运算时应关注两点:

(1)灵活利用共线向量进行转换,使两个向量同起点或首尾相连.

(2)灵活运用向量加法运算律,简化运算.;;延伸探究本例中,这架飞机到达C地医院后,往正南方向飞行多大距离即可由此处沿正西方向飞回A地?;规律方法向量加法应用的关键及技巧

(1)三个关键:一是搞清构成平面图形的向量间的相互关系;二是熟练找出图形中的相等向量;三是能根据三角形法则