人教A版高中同步学案数学必修第二册精品课件 第6章 平面向量及其应用 学习单元4 6.4.16.4.2.pptVIP

学习单元4平面向量的应用6.4.1平面几何中的向量方法6.4.2向量在物理中的应用举例

向量具有明确的几何背景和丰富的物理背景,其几何背景是有向线段,物理背景是力、速度、加速度等.由此想到可以利用向量解决一些简单的平面几何问题和物理问题.三角形是平面几何中最常见、最重要的图形之一,边角关系是三角形中最重要的关系之一.借助向量的运算,得到了余弦定理和正弦定理,这为探索三角形边长与角度之间的关系提供了基本而重要的工具,很好地突出了向量在解三角形中的应用.这是本学习单元的知识明线,具体结构如下图所示.

用向量研究平面几何问题的过程可以简单地表述为“三步曲”,即“几何图形到向量→恰当的向量运算→向量到几何关系”.类似地,向量在物理中的应用,实际上是先把物理问题转化为向量问题,然后利用向量运算解决转化而得的向量问题,最后再用所得的结果解释物理现象,以此提升直观想象、数学建模、逻辑推理和数学运算素养.在解决与三角形有关的实际问题时,应根据问题中的文字语言,自行画出图形,然后利用余弦定理和正弦定理计算,有助于培养学生文字语言、图形语言和符号语言相互转译的能力以及数学建模素养.

学习目标1.能运用平面向量的知识解决一些简单的平面几何问题和物理问题.(逻辑推理、直观想象)2.掌握用向量法解决平面几何问题的两种基本方法——选择基底法和建系坐标法.(数学运算)3.通过具体问题的解决,理解用向量知识研究物理问题的一般思路与方法,培养探究意识和应用意识,体会向量的工具作用.(数学抽象、数学运算)

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知识点一:向量在平面几何中的应用1.由于向量的线性运算和数量积运算具有鲜明的几何背景,平面几何图形的许多性质,如全等、相似、长度、夹角等都可以由向量的及表示出来,因此平面几何中的许多问题都可用向量运算的方法加以解决.?2.用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”:(1)建立平面几何与向量的联系,用表示问题中涉及的几何元素,将平面几何问题转化为问题;?(2)通过运算,研究几何元素之间的关系,如距离、夹角等问题;?(3)把运算结果“翻译”成几何关系.3.平行四边形ABCD两条对角线长的平方和等于两条邻边长的平方和的两倍.这一结论,可以用向量表示为().线性运算数量积向量向量向量(a+b)2+(a-b)2=2(a2+b2)

微思考对于用向量解决问题的“三步曲”,该如何用解题步骤落实?提示遵循三个步骤,一是把几何问题用向量表示,二是通过向量运算,解决向量问题,三是把向量运算结果转述为几何关系.

知识点二:向量在物理中的应用1.物理学中的许多量,如力、速度、加速度、位移都是向量.2.物理学中的力、速度、加速度、位移的合成与分解就是向量的加减法.3.利用向量方法解决物理问题的基本步骤:(1)问题转化,即把物理问题转化为数学问题;(2)建立模型,即建立以向量为载体的数学模型;(3)求解参数,即求向量的模、夹角、数量积等;(4)回答问题,即把所得的数学结论回归到物理问题.

微思考三个力F1=(-2,-1),F2=(-3,2),F3=(4,-3)同时作用于某物体上一点.为使物体保持平衡,现加上一个力F4,则F4为何值?提示由物体保持平衡,可知F1+F2+F3+F4=0,故F4=-(F1+F2+F3)=-[(-2,-1)+(-3,2)+(4,-3)]=-(-1,-2)=(1,2).

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问题1对于平面向量,我们已经学习了概念、运算、性质及坐标表示,接下来又该学习什么内容?问题2平面向量具有很强的几何意义及物理学上的背景,就应用来看,最需要解决什么问题?

探究点一向量在平面几何中的应用问题3几何问题主要有几何关系(如共线、垂直)、几何度量(长度、夹角)等,如何用向量的运算来解决?体会解决问题过程中的“三步曲”基本思想.角度1.平行或共线问题【例1】如图所示,在平行四边形ABCD中,已知DE=AB,DF=DB,求证:A,E,F三点共线.

规律方法证明A,B,C三点共线的步骤(1)证明其中两点组成的向量与另外两点组成的向量共线.(2)说明两向量有公共点.(3)下结论,即A,B,C三点共线.

角度2.垂直问题【例2】如图所示,在正方形ABCD中,P是对角线BD上的一点,四边形PECF是矩形,用向量法证明:PA⊥EF.

(方法二)以D为原点,DC,DA所在直线分别为x轴、y轴,建立如图所示的平面直角坐标系.设正方形边长为a,由于P是对角线BD上的一点,

规律方法向量法证明平面几何中