人教A版高中同步学案数学精品课件必修第一册精品课件 第3章 一元二次函数、方程和不等式 3.4 函数的应用(一).pptVIP

第三章3.4函数的应用(一)

基础落实·必备知识一遍过重难探究·能力素养速提升目录索引学以致用·随堂检测促达标

数学学习的最终目的是应用,本单元主要学习给定数学模型的实际应用.在此过程中,通过解决简单的实际问题,逐步学会分析实际问题中存在的变量,以及变量之间的关系,体会应用函数知识解决实际问题的能力,为后续学习更加复杂、需要根据实际背景建立数学模型的应用问题作准备,初步提升数学建模素养.

学习目标1.理解函数是描述客观世界中变量关系和规律的重要数学语言和工具.(逻辑推理)2.在实际情境中,会选择合适的函数类型刻画现实问题的变化规律.(数学建模)3.会应用一次函数、二次函数和幂函数模型解决一些简单的实际问题.(数学运算)

基础落实·必备知识一遍过

知识点一:常见的函数模型1.一次函数模型形如y=kx+b(k≠0)的函数模型是一次函数模型,应用一次函数的性质及图象解题时,应注意:(1)一次函数有单调递增(一次项系数为正)和单调递减(一次项系数为负)两种情况;(2)一次函数的图象是一条直线.2.二次函数模型形如y=ax2+bx+c(a≠0)的函数模型是二次函数模型.二次函数模型是重要的数学模型之一,依据实际问题建立二次函数的解析式后,利用二次函数的图象和性质求最值,从而解决利润最大、用料最省等问题.3.分段函数模型这个模型实质是多个不同类型函数模型的综合.

微思考在函数模型中,如何分析两个变量属哪种函数关系?提示通常需要先画出函数图象,再根据图象来确定两个变量的关系,选择函数类型.

知识点二:实际问题的函数建模实际问题的函数建模是将实际问题转化为数学问题的关键,一般步骤为(1)设恰当的变量:研究实际问题中量与量之间的关系,确定变量之间的关系,并用x,y分别表示问题中的变量.(2)建立函数模型:将变量y表示为x的函数,在中学数学阶段,我们建立的函数模型一般都是函数的解析式,注意函数的定义域.(3)求解函数模型:根据已知条件求解函数模型.(4)给出实际问题的解:将数学模型的解还原为实际问题的解,得出实际问题的解.

微思考函数模型在实际应用中,函数的自变量有什么特点?提示在实际应用中,函数的自变量x往往具有实际意义,如x表示长度时,x≥0;x表示件数时,x≥0,且x∈Z等.在解答时,必须要考虑这些实际意义.

重难探究·能力素养速提升

问题1如何确定实际问题中变量之间的函数关系?问题2实际问题转化为数学问题后,对于变量,是否有一定限制?

探究点一一次函数、二次函数模型的应用问题3一次函数、二次函数模型的特征有哪些?如何提取这些特征?【例1】在一次会展期间某企业向展销商销售一种商品,根据市场调查,每件商品售价x(单位:元)与销量t(单位:万件)之间的函数关系为图中直线的一部分,其中0≤x30,如图所示.又知供货价格与销量成反比,比例系数为50.(注:每件产品利润=售价-供货价格)(1)求售价20元时的销量及此时的供货价格.(2)当销售价格为多少时总利润最大?求出最大利润.

解(1)由题图知每件商品的售价与销量之间的函数关系为一次函数,设t=kx+b,供货价格为y元.当售价为20元时,销量为t=-20+30=10(万件).又供货价格与销量成反比,比例系数为50,此时的供货价格为(2)商品供货价格为设销售商品总利润为w万元,则w=(x-)(-x+30)=-x2+30x-50=-(x-15)2+175.当销售价格为15元时,总利润w最大,最大值为175万元.

规律方法1.一次函数模型的重要特征是线性变化,满足条件的点在一条直线上,求解时可设一次函数模型为y=kx+b,利用待定系数法建立方程(组)求k,b.2.二次函数模型的解析式为g(x)=ax2+bx+c(a≠0).在函数建模中,它占有重要的地位.在根据实际问题建立函数解析式后,可利用函数图象、函数单调性等方法结合函数的定义域求最值.

探究点二分段函数模型的应用问题4分段函数模型的特征有哪些?如何提取这些特征?【例2】某公司生产一种产品,每年投入固定成本0.5万元,此外每生产100件这种产品还需要增加投资0.25万元,经预测可知,市场对这种产品的年需求量为500件,当出售的这种产品的数量为t(单位:百件)时,销售所得的收入约为万元.(1)若该公司的年产量为x(单位:百件),试把该公司生产并销售这种产品所得的年利润表示为年产量x的函数;(2)当这种产品的年产量为多少时,当年所得利润最大?分析利润=销售收入-总的成本.由于本题中的销量为500件,但生产的数量不确定,所以模型确定为分段函数模型.

解(1)当0x≤5时,产品全部售出,当x5时,产品只能售出500件.所以,(2)当0x≤5时,f(x)=-x2+4.