人教A版高中同步学案数学必修第二册精品课件 第7章 复数 7.2.1 复数的加、减运算及其几何意义 (2).pptVIP

第七章复数7.2.1复数的加、减运算及其几何意义

学习目标1.掌握复数的加法、减法运算法则.(数学抽象)2.了解复数加法、减法运算的几何意义.(直观想象)3.能够利用复数的加法、减法运算法则及几何意义解决问题.(逻辑推理、数学运算)

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基础落实·必备知识全过关

知识点一:复数的加、减运算1.复数加、减法的运算法则:设z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,d∈R)是任意两个复数,则有:z1+z2=(a+bi)+(c+di)=;?z1-z2=(a+bi)-(c+di)=.?2.复数加法的运算律:设z1,z2,z3∈C,则有:交换律:z1+z2=;?结合律:(z1+z2)+z3=.?(a+c)+(b+d)i(a-c)+(b-d)iz2+z1z1+(z2+z3)

微思考从数系的扩充来看,复数系的加减运算法则及运算律要符合什么数系的运算法则及运算律?为什么?提示复数系由实数系扩充而来,根据运算的向下兼容性,故复数系的加减运算法则及运算律要符合实数系的运算法则及运算律.

知识点二:复数加、减法的几何意义

这说明两个向量的差就是与复数(a-c)+(b-d)i对应的向量.因此,复数的减法可以按照向量的减法来进行,这就是复数减法的几何意义.微思考能否描述复数加、减法运算过程的基本步骤?提示一是把复数与相应的向量对应;二是把复数的加、减法转化成向量的加减法运算;三是把向量的运算结果与复数对应.

重难探究·能力素养全提升

问题1理解复数的概念以后,该如何研究复数?

探究点一复数的加、减运算问题2通过引入虚数单位,实数系扩充到了复数系.对于复数系的运算,类比实数的加、减法运算及运算律,思考:复数的加法、减法又该如何规定?1+i

(2)已知复数z满足z+1-3i=5-2i,求z.解(方法一)设z=x+yi(x,y∈R),因为z+1-3i=5-2i,所以x+yi+(1-3i)=5-2i,即x+1=5且y-3=-2,解得x=4,y=1,所以z=4+i.(方法二)因为z+1-3i=5-2i,所以z=(5-2i)-(1-3i)=4+i.

规律方法复数加、减运算的方法技巧(1)可以把复数运算类比实数运算,若有括号,先计算括号里面的;若没有括号,可以从左到右依次进行.(2)当利用交换律、结合律抵消掉某些项的实部或虚部时,可以利用运算律简化运算,注意正负号法则与实数相同,不能弄错.

探究点二复数加、减运算的几何意义问题3复数与向量都属二元数,类比向量,复数的几何意义除了与复平面内点的对应外,还有什么更多的几何意义?【例2】已知平行四边形ABCD中,对应的复数分别是3+2i与1+4i,两对角线AC与BD相交于点O.求:(3)△AOB的面积.

规律方法向量加、减法运算的平行四边形法则和三角形法则是复数加、减法几何意义的依据.利用向量加法“首尾相接”和向量减法“指向被减向量”的特点,在三角形内可求得第三个向量及其对应的复数.注意向量对应的复数是zB-zA(终点对应的复数减去起点对应的复数).

【例3】复平面内点A,B,C对应的复数分别为i,1,4+2i,由A→B→C→D按逆时针顺序作?ABCD,求||.

规律方法1.解决此类问题的关键是由题意正确地画出图形,然后根据三角形法则或平行四边形法则借助复数相等即可求解.2.复数的几何意义包括三个方面:复数的表示(点和向量)、复数的模的几何意义及复数加、减运算的几何意义.复数的几何意义充分体现了数形结合这一重要的数学思想方法,即通过几何图形来研究代数问题.

探究点三复数模的最值问题问题4类比向量的模,复数的模有怎样的几何意义?【例4】(1)如果复数z满足|z+i|+|z-i|=2,那么|z+i+1|的最小值是()A解析设复数z,-i,i,-1-i在复平面内对应的点分别为Z,Z1,Z2,Z3,因为|z+i|+|z-i|=2,即|Z1Z2|=2,所以点Z的集合为线段Z1Z2.问题转化为:动点Z在线段Z1Z2上移动,求|ZZ3|的最小值.画图可知(图略),当Z位于Z1位置时,|ZZ3|最小.因为|Z1Z3|=1,所以|z+i+1|min=1.故选A.

规律方法复数模的问题的求解策略|z1-z2|表示复平面内z1,z2对应的两点间的距离.利用此性质,可以把复数模的问题转化为复平面内两点间的距离问题,从而进行数形结合,把复数问题转化为几何图形问题.