人教A版高中同步学案数学必修第二册精品课件 第8章 立体几何初步 本章 总结提升.pptVIP

第八章立体几何初步本章总结提升

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网络构建归纳整合

空间平行、垂直关系之间的转化

专题突破素养提升

专题一空间几何体的结构特征【例1】根据下列对几何体结构特征的描述,说出几何体的名称.(1)由六个面围成,其中一个面是凸五边形,其余各面是有公共顶点的三角形;(2)一个等腰梯形绕着两底边中点的连线所在的直线旋转180°形成的面所围成的旋转体;(3)一个直角梯形绕较长的底边所在的直线旋转一周形成的面所围成的旋转体.

解(1)如图①所示,因为该几何体的五个面是有公共顶点的三角形,所以是棱锥,又其底面是凸五边形,所以是五棱锥.(2)如图②所示,等腰梯形两底边中点的连线将梯形平分为两个直角梯形,每个直角梯形旋转180°形成半个圆台,故该几何体为圆台.(3)如图③所示,过直角梯形ABCD的顶点A作AO⊥CD于点O,将直角梯形分为一个直角三角形AOD和一个矩形AOCB,绕CD旋转一周形成一个组合体,该组合体由一个圆锥和一个圆柱组成.

规律方法与空间几何体结构特征有关问题的解题技巧(1)紧扣结构特征是判断的关键,熟悉空间几何体的结构特征,依据条件构建几何模型,在条件不变的情况下,变换模型中的线面关系或增加线、面等基本元素,然后再依据题意判定.(2)通过举反例对结构特征进行辨析,要说明一个命题是假命题,只要举出一个反例即可.

变式训练1给出下列四种说法:①在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点,则这两点的连线是圆柱的母线;②底面为正多边形,且相邻两个侧面与底面垂直的棱柱是正棱柱;③直角三角形绕其任一边所在直线旋转一周所形成的旋转体都是圆锥;④棱台的上、下底面可以不相似,但侧棱长一定相等.其中正确的个数是()A.0 B.1 C.2 D.3B解析①上、下底面的圆周上两点的连线要与轴平行才是母线;③直角三角形绕着直角边所在直线旋转一周才能形成圆锥;④棱台的上、下底面相似,侧棱长不一定相等.故只有②正确.

专题二空间几何体的表面积和体积【例2】如图所示,在边长为4的正三角形ABC中,E,F依次是AB,AC的中点,AD⊥BC,EH⊥BC,FG⊥BC,D,H,G为垂足.若将△ABC中的四边形EFGH抠掉后,剩余部分绕AD所在直线旋转180°,求形成的几何体的表面积与体积.

解所得几何体是由一个圆锥挖去一个圆柱后形成的,∵S圆锥表=π·DC2+π·DC·AC=4π+8π=12π,

规律方法1.空间几何体表面积的求法(1)多面体的表面积是各个面的面积之和;组合体的表面积注意衔接部分的处理.(2)旋转体的表面积问题注意其侧面展开图的应用.2.空间几何体体积问题的常见类型及解题策略(1)若所给定的几何体是可直接用公式求解的柱体、锥体或台体,则可直接利用公式进行求解.(2)若所给定的几何体的体积不能直接利用公式得出,则常用转换法、分割法、补形法等方法进行求解.特别地,求三棱锥体积时经常要转换顶点和底面,从而达到方便求高的目的.

变式训练2如图所示,已知三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱长均为1,且AA1⊥底面ABC,则三棱锥B1-ABC1的体积为()A

(方法二)取BC中点D,连接AD,∵AD⊥BC,AD⊥BB1,BC∩BB1=B,则AD⊥平面BB1C1(图略),

专题三空间中的平行与垂直关系【例3】如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,A1B1=A1C1,D,E分别是棱BC,CC1上的点(点D不同于点C),且AD⊥DE,F为B1C1的中点.求证:(1)平面ADE⊥平面BCC1B1;(2)直线A1F∥平面ADE.

证明(1)因为三棱柱ABC-A1B1C1是直三棱柱,所以CC1⊥平面ABC.又AD?平面ABC,所以CC1⊥AD.又因为AD⊥DE,CC1,DE?平面BCC1B1,CC1∩DE=E,所以AD⊥平面BCC1B1.又AD?平面ADE,所以平面ADE⊥平面BCC1B1.(2)因为A1B1=A1C1,F为B1C1的中点,所以A1F⊥B1C1.因为CC1⊥平面A1B1C1,且A1F?平面A1B1C1,所以CC1⊥A1F.又因为CC1,B1C1?平面BCC1B1,CC1∩B1C1=C1,所以A1F⊥平面BCC1B1.由(1)知AD⊥平面BCC1B1,所以A1F∥AD.又AD?平面ADE,A1F?平面ADE,所以A1F∥平面ADE.

规律方法1.空间中的平行关系有三种:线线平行、线面平行、面面平行.(1)证明线线平行的常用方法有7种:a.利用两直线平行的定义;b.利用平行线的传递性;c.利用三角形中位线定理;d.利用平行四边形对边平行;e.利用线面平行的性质定理;f.利用线面垂直的性质定理;g.利用面面平行的性质定理.(2)证明线面平行的常用方法有3种:a.利用线面平行的定义