人教A版高中同步学案数学选择性必修第一册精品课件 第3章 圆锥曲线的方程 培优课 椭圆的综合问题及应用.pptVIP

第三章培优课椭圆的综合问题及应用

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重难探究·能力素养全提升

探究点一椭圆的中点弦问题【例1】已知椭圆的弦AB的中点M的坐标为(2,1),求直线AB的方程.

解(方法1)易知直线AB的斜率k存在.设所求直线的方程为y-1=k(x-2),

(方法2)设A(x1,y1),B(x2,y2),x1≠x2.∵M(2,1)为AB的中点,∴x1+x2=4,y1+y2=2.

(方法3)设所求直线与椭圆的一个交点为A(x,y),由于AB的中点为M(2,1),则另一个交点为B(4-x,2-y).∵A,B两点都在椭圆上,①-②,得x+2y-4=0.显然点A的坐标满足这个方程.代入验证可知点B的坐标也满足这个方程,而过A,B的直线只有一条,故所求直线的方程为x+2y-4=0.

规律方法处理椭圆的中点弦问题的三种途径(1)根与系数的关系法:联立直线方程与椭圆方程构成方程组,消掉其中的一个未知数,得到一个一元二次方程,利用一元二次方程根与系数的关系结合中点坐标公式求解.(2)点差法:设出弦的两个端点坐标,代入椭圆方程,两式相减即得弦的中点与斜率的关系.即“设而不求”思想,这也是此类问题最常用的方法.(3)中点转移法:先设出弦的一个端点的坐标,结合中点坐标得出弦的另一个端点的坐标,分别代入椭圆方程作差即得.

变式训练1已知椭圆(ab0)的右焦点为F(3,0),过点F的直线交椭圆于A,B两点,若线段AB的中点坐标为(1,-1),则椭圆的方程为.

探究点二直线与椭圆的位置关系

规律方法直线与椭圆位置关系的判断方法

变式训练2已知椭圆C的焦点分别为F1(-2,0),F2(2,0),长轴长为6,设直线y=x+2交椭圆C于A,B两点.(1)求线段AB的中点坐标;(2)求△OAB的面积.

探究点三椭圆中的最值与范围问题【例3】如图,点A,B分别是椭圆长轴的左、右端点,点F是椭圆的右焦点,点P在椭圆上,且位于x轴上方,PA⊥PF.(1)求点P的坐标;(2)设M是椭圆长轴AB上的一点,M到直线AP的距离等于|MB|,求椭圆上的点到点M的距离d的最小值.

规律方法解决与椭圆有关的最大(小)值或范围问题的方法(1)定义法:利用椭圆定义转化为几何问题处理.(2)数形结合法:利用数与形的结合,挖掘几何特征,寻找最大(小)值点(或临界点),进而求解.(3)函数法:选择恰当的自变量,构建目标函数,转化为求函数的最大(小)值或范围.

变式训练3[2023四川达州期末]古希腊数学家阿基米德利用“逼近法”得到椭圆的面积等于圆周率π与椭圆的长半轴长、短半轴长的乘积.已知椭圆Γ的中心为原点O,焦点F1,F2均在x轴上,离心率等于,面积为15π.(1)求Γ的标准方程;(2)若直线l与圆M:x2+y2=16相切,且直线l与Γ交于C,D两点,求△COD面积的最大值.

②当直线l的斜率存在时,设直线l的方程为y=kx+t,C(x1,y1),D(x2,y2),因为直线l与圆M相切,

探究点四椭圆中的定点、定值问题(1)求椭圆C的方程.(2)已知P(0,2),过点Q(-1,-2)作直线l交椭圆C于A,B两点(异于点P),直线PA,PB的斜率分别为k1,k2.试问k1+k2是否为定值?若是,请求出此定值;若不是,请说明理由.

(2)k1+k2为定值4.①当直线l的斜率不存在时,l的方程为x=-1,

②当直线l的斜率存在时,设l的方程为y-(-2)=k[x-(-1)],即y=kx+k-2,设A(x1,y1),B(x2,y2),

规律方法定点、定值问题的求法定点、定值是在变化过程中不变的量,解决这类问题的基本思想是函数思想.具体处理方法有以下两种:(1)从特殊关系入手,求出定点(定值),再证明这个定点(定值)与变量无关.(2)直接推理、计算,并在计算过程中消去变量.

本节要点归纳1.知识清单:(1)直线与椭圆的位置关系;(2)椭圆中的中点弦、最值与范围、定点与定值问题.2.方法归纳:分类讨论法、点差法.3.常见误区:容易忽略直线中斜率不存在的情况.

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123452.若O和F分别为椭圆+y2=1的中心和左焦点,P为椭圆上的任意一点,则|OP|2+|PF|2的最小值为()A.1 B.2 C.3 D.4B解析依题意可得F(-1,0),设P(x,y),则|OP|2+|PF|2=x2+y2+(x+1)2+y2=2x2+2x+1+2y2.因为+y2=1,所以|OP|2+|PF|2=x2+2x+3=(x+1)2+2,故当x=-1时,|OP