人教A版高中同步学案数学必修第二册精品课件 第8章 立体几何初步 学习单元5 8.5.1 直线与直线平行.pptVIP

第八章立体几何初步8.5.1直线与直线平行

在整体认识了空间点、直线、平面的位置关系的基础上,本学习单元进一步研究空间直线、平面间的特殊位置关系——平行.在几何中,往往从一般到特殊展开对几何对象的研究.如在初中,我们研究两条直线的位置关系时,就是研究两条直线相交的一般情况,并用对顶角和邻补角刻画它们的性质,然后再进一步研究平行和垂直这两种特殊的情况.立体几何的研究也是类似的.由于性质的包容性,特殊图形首先具有一般图形的性质,另外特殊图形往往具有一些特殊的性质,这也是我们往往从一般到特殊地研究几何图形的原因.

因此,本学习单元的研究内容:直线与直线平行——直线与平面平行——平面与平面平行.这是学习本单元的知识明线,具体内容结构如下图所示.本学习单元的最终目标是掌握证明直线与直线平行常用的方法,掌握直线与平面平行、平面与平面平行的判定定理和性质定理以及它们的应用.依据“探究发现、逐步验证、形成结论”的一般方法观念进行学习,在此过程中提升数学抽象、逻辑推理、数学运算以及直观想象的核心素养.

学习目标1.掌握基本事实4,并会应用其解决相关直线与直线平行问题.(数学抽象、逻辑推理)2.理解等角定理,并会应用其解决有关问题.(逻辑推理、数学运算)3.体会“平移”在平行关系中的应用.(直观想象、逻辑推理)

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基础落实·必备知识全过关

知识点一:直线与直线平行文字语言平行于同一条直线的两条直线?图形语言?符号语言直线a,b,c,若a∥b,b∥c,则?作用证明或判断两条直线平行说明基本事实4表述的性质通常叫做平行线的?平行a∥c传递性

微思考已知在棱长为a的正方体ABCD-ABCD中,M,N分别为棱CD,AD的中点,则MN与AC有什么位置关系?为什么?提示平行.MN∥AC∥AC.

知识点二:等角定理内容:如果空间中两个角的两条边分别对应平行,那么这两个角相等或互补.名师点睛1.如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行,并且方向相同(或相反),那么这两个角相等,从“平移”的角度,可看作一个角在两个位置.2.如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行,并且一边的方向相同,另一边的方向相反,那么这两个角互补.

微思考如图,在四棱柱ABCD-ABCD中,底面ABCD为菱形,∠ADC与∠ADC,∠ADC与∠DCB的两边分别对应平行,这两组角的大小关系是什么?提示∠ADC=∠ADC,∠ADC+∠DCB=180°.

重难探究·能力素养全提升

问题1在同一个平面内,不相交的两条直线是平行直线,并且当两条直线都与第三条直线平行时,这两条直线互相平行.思考在空间中,是否也有类似的结论?问题2在同一个平面内,如果一个角的两边与另一个角的两边分别对应平行,那么这两个角相等或互补.在空间中,这一结论是否仍然成立?

探究点一平行线传递性的应用问题3我们知道,平面内直线与直线平行具有传递性,那么空间中直线与直线平行是否仍具有传递性?【例1】如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是BC,A1D1的中点.求证:四边形B1EDF是菱形.

证明如图,取B1C1的中点G,连接GD1,GE,则GE∥C1C∥D1D,GE=C1C=D1D,∴四边形GEDD1是平行四边形,GD1∥ED,GD1=ED.∵FD1∥B1G,FD1=B1G,∴四边形FB1GD1是平行四边形,∴B1F∥GD1,B1F=GD1,∴B1F∥ED,B1F=ED,∴四边形B1EDF是平行四边形.∴B1E=B1F,∴四边形B1EDF是菱形.

规律方法空间两条直线平行的证明判断两条直线平行,除了平面几何中常用的判断方法以外,基本事实4,即平行线的传递性,也是判断两直线平行的重要依据.解题时要注意中位线的作用.

探究点二等角定理的应用问题4在空间中,若两个角对应的边分别平行,那么这两个角有什么关系呢?【例2】如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,M1分别是棱AD和A1D1的中点.(1)求证:四边形BB1M1M为平行四边形;(2)求证:∠B1M1C1=∠BMC.

证明(1)在正方形ADD1A1中,M,M1分别为AD,A1D1的中点,∴MM1∥AA1,MM1=AA1.又AA1∥BB1,AA1=BB1,∴MM1∥BB1,且MM1=BB1,∴四边形BB1M1M为平行四边形.

(2)(方法一)由(1)知四边形BB1M1M为平行四边形,∴B1M1∥BM.由(1)同理可得四边形CC1M1M为平行四边形,∴C1M1∥CM.由平面几何知识可知,∠BMC和∠B1M1C1都是锐角.∴∠BMC=∠B1M1C1.(方法二)由(1)知四边形BB1M1M为平行四边形,∴B1