人教A版高中同步学案数学选择性必修第二册精品课件 第五章 一元函数的导数及其应用 培优课——构造函数法解决导数问题.pptVIP

;内容索引;课标要求;重难探究·能力素养全提升;;答案D;规律方法解决此类问题的关键是弄清代数式的结构特点,根据代数式的共性特点构造函数,利用导数和单调性比较大小.;变式训练1

已知x0,a=x,b=x-,c=ln(1+x),则()

A.cba B.bac

C.cab D.bca;答案D;;规律方法证明f(x)g(x)的一般方法是证明h(x)=f(x)-g(x)0(利用单调性),可构造出一个函数(可以移项,使右边为零,将移项后的左式设为函数),并利用导数判断所设函数的单调性,再根据函数单调性的定义,证明要证的不等式.;变式训练2

已知函数f(x)=x+aex(a∈R).

(1)讨论函数f(x)的单调性;

(2)当x0,a≤1时,证明:x2+(a+1)xxf(x).;(2)证明设F(x)=x2+(a+1)x-xf(x)=x2+ax-axex=x(x+a-aex).

设H(x)=x+a-aex,则H(x)=1-aex.

∵x0,∴0ex1,

又a≤1,∴1-aex≥1-ex0.

∴H(x)在(-∞,0)上为增函数,则H(x)H(0)=0,

即x+a-aex0.

由x0可得F(x)=x(x+a-aex)0,

所以x2+(a+1)xxf(x).;;答案B

由f(x)f(x),可得f(x)-f(x)0,

所以g(x)0,函数g(x)在R上是减函数.

由f(x+1)为偶函数,可得函数f(x)关于直线x=1对称,

又f(2)=1,所以f(0)=1,所以g(0)==1,

不等式f(x)ex,可化为1,即g(x)g(0),所以x0,即不等式f(x)ex的解集为(0,+∞).;规律方法用单调性解不等式时常见的构造函数技巧方法

求解此类题目的关键是构造新函数,研究新函数的单调性及其导函数的结构形式,因此熟悉以下结论可以达到事半功倍的效果.

(1)对于f(x)g(x),构造h(x)=f(x)-g(x),更一般地,遇到f(x)a(a≠0),即导函数大于某个非零常数(若a=0,则无须构造),则可构造h(x)=f(x)-ax.

(2)对于f(x)+g(x)0,构造h(x)=f(x)+g(x).

(3)对于f(x)+f(x)0,构造h(x)=exf(x).;变式训练3

已知函数f(x)的定义域为R,且f(x)+1f(x),f(0)=2,则不等式f(x)+13ex的解集为()

A.(1,+∞) B.(-∞,1)

C.(0,+∞) D.(-∞,0);答案C;;学以致用·随堂检测全达标;1.已知f(x)是定义在(0,+∞)上的非负可导函数,且满足xf(x)+f(x)0,对任意的正数a,b,若ab,则必有()

A.bf(b)af(a) B.bf(a)af(b)

C.af(a)bf(b) D.af(b)bf(a);2.已知函数y=f(x)(x∈R)满足f(2)=1,且f(x)的导函数f(x)1,则f(x)x-1的解集为()

A.{x|-2x2} B.{x|x2}

C.{x|x-2或x2} D.{x|x2};4.已知a,b为实数,且bae,其中e为自然对数的底数,求证:abba.;本课结束