第一章 空间向量与立体几何 章末总结及测试（解析版）-2024-2025学年【暑假预习】高二数学（人教A版2019选择性必修一）.docxVIP

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第一章空间向量与立体几何章末总结及测试

考点一空间向量概念的辨析

1．（2024湖北）给出下列命题：

①空间向量就是空间中的一条有向线段；

②在正方体中，必有；

③是向量的必要不充分条件；

④若空间向量满足，，则．

其中正确的命题的个数是（????）．

A．1 B．2 C．3 D．0

【答案】B

【解析】有向线段起点和终点是固定的，而空间向量是可以平移的，故①错误；

和大小一样、方向相同，则，故②正确；

若，则和的模相等，方向不一定相同，若，则和的模相等，方向也相同，所以是向量的必要不充分条件，故③正确；

向量的平行不具有传递性，比如当为零向量时，零向量与任何向量都平行，则不一定平行，故④错误.

综上所述，②③正确.

故选：B．

2．（2024·湖北武汉·期末）在下列命题中：

①若向量共线，则向量所在的直线平行；

②若向量所在的直线为异面直线，则向量一定不共面；

③若三个向量两两共面，则向量共面；

④已知空间的三个向量，则对于空间的任意一个向量总存在实数使得其中正确命题的个数是（????）

A．0 B．1 C．2 D．3

【答案】A

【解析】对于①，若向量共线，则向量所在的直线平行，也可能共线，故①错误；

对于②，由于向量可以平移，两个向量一定共面，故②错误；

对于③，任意两个向量自然是两两共面，三个向量则不一定共面，例如空间直角坐标系轴所在的向量两两共面，但是显然轴不共面，故③错误；

对于④，若共线时，显然共面，于是只能表示和共面的向量，对于空间中的任意向量则不一定成立，故④错误.

于是四个选项都是错的.

故选：A

3．（23-24高二上·重庆万州·阶段练习）以下四个命题中正确的是（????）

A．向量，，若，则

B．若空间向量、、，满足，，则

C．对于空间向量、、，满足，，则

D．对空间任意一点O和不共线的三点A、B、C，若，则P、A、B、C四点共面

【答案】C

【解析】当为零向量时，满足，但是与不垂直，故A错；

当为零向量时，与不一定共线，故B错；

相等向量具有传递性，故C正确；

因为，所以不共面，故D错.

故选：C.

4．（23-24高二上·贵州黔西·阶段练习）（多选）下列说法，错误的为（????）

A．若两个空间向量相等，则表示它们有向线段的起点相同，终点也相同

B．若向量满足，且与同向，则

C．若两个非零向量与满足，则为相反向量

D．的充要条件是与重合，与重合

【答案】ABD

【解析】向量是具有方向和大小的量，向量可自由平移，

而表示向量的有向线段是起点、方向、终点都确定的，

故相等向量的起点和终点不必相同，

对应表示它们的有向线段也不必起点相同，终点也相同，即A、D错误；

向量的模长可比大小，但向量不可以，故B错误；

由相反向量的定义可知C正确.

故选：ABD

考点二空间向量的基本定理

1．（23-24高二下·江苏泰州·阶段练习）已知四棱锥的底面是平行四边形，为棱上的点，且，用表示向量为（????）

A． B．

C． D．

【答案】A

【解析】由题意.故选：A

2．（22-23高二上·云南临沧·阶段练习）如图，为的中点，以为基底，，则实数组等于（????）

??

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】为的中点，，，

故选:A.

3．（23-24高二上·贵州毕节·期末）如图1，在四面体中，点分别为线段的中点，若，则的值为（????）

??

A． B． C． D．1

【答案】A

【解析】在四面体中，由分别为线段的中点，

得，

而，由空间向量基本定理得：，所以.故选：A

4．（23-24高二上·广东·期末）如图，在三棱台中，，是的中点，是的中点，若，则（????）

A． B．1 C． D．

【答案】C

【解析】结合图形可知：

是的中点，,,

，

是的中点，,

,

即,

，，.故选：C.

考点三共线共面问题

1．（23-24高二下·江苏连云港·阶段练习）给出下列四个命题：

①若存在实数，使，则与共面；

②若与共面，则存在实数，使

③若存在实数，使，则点共面；

④若点共面，则存在实数，使

其中（????）是真命题．

A．②④ B．①③ C．①② D．③④

【答案】B

【解析】①：由共面向量定理知，故①正确；

②：共线，则不与共线，

则不存在实数x，y，使，故②错误；

③：共面向量定理知，故③正确；

④：共线，不与共线，

则不存在实数x，y，使，故④错误．

故选：B

2．（23-24高二下·江苏宿迁·期末）已知三点不共线，为平面外一点，下列条件中能确定四点共面的是（????）

A． B．

C． D．

【答案】D

【解析】由空间向量基本定理可知，若四点共面，则需满足存在实数使得，且，

显然选项A，C不成立；

对于选项B，由可得，

不合题意，即B错误