2.5 直线与圆、圆与圆的位置关系（解析版）-2024-2025学年【暑假预习】高二数学（人教A版2019选择性必修一）.docxVIP

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2.5直线与圆、圆与圆的位置关系

知识点一直线与圆的位置关系

【

【解题思路】

直线与圆的位置关系的判断方法

(1)几何法：由圆心到直线的距离d与圆的半径r的大小关系判断．

(2)代数法：根据直线方程与圆的方程组成的方程组解的个数来判断．

(3)直线系法：若直线恒过定点，可通过判断定点与圆的位置关系来判断直线与圆的位置关系．但有一定的局限性，必须是过定点的直线系．

【例1-1】（2024·河南·一模）已知圆，则下列说法错误的是（????）

A．点在圆外 B．直线平分圆

C．圆的周长为 D．直线与圆相离

【答案】D

【解析】由可知圆心坐标为，圆的半径为1．

对于选项A：由点到圆心的距离

所以点在圆外，故A正确；

对于选项B：因为圆心在直线上，

所以圆关于直线对称，故B正确；

对于选项C，圆的周长为，故C正确；

对于选项D，因为圆心到直线的距离为，

所以直线与圆相切，故D错误．

故选：D．

【例1-2】（23-24高二下·陕西榆林·阶段练习）直线与圆的位置关系为（????）

A．相离 B．相交 C．相切 D．无法确定

【答案】B

【解析】直线恒过定点，将定点代入圆的方程，

发现，则定点在圆内部，

所以直线与圆必相交.故选:B.

【例1-3】（23-24高二下·河南濮阳·阶段练习）已知直线与圆和圆都相切，则实数的值为（???）

A． B． C． D．或

【答案】D

【解析】因为直线与圆相切，所以，解得，

由直线和圆相切，

所以或，解得或，

故实数的值为或.故选：D.

【变式】

1．（23-24高二上·广西南宁·阶段练习）直线与圆的位置关系为（）

A．相交且过圆心 B．相交且不过圆心

C．相切 D．相离

【答案】C

【解析】圆，即，其圆心坐标为，半径为，

圆心到直线的距离，直线与圆的位置关系为相切.故选：C

2．（24-25高二上·上海·单元测试）直线绕原点按逆时针方向旋转30°后所得的直线l与圆的位置关系是（????）

A．直线l过圆心 B．直线l与圆相交，但不过圆心

C．直线l与圆相切 D．直线l与圆无公共点

【答案】C

【解析】直线过原点，斜率为，倾斜角为，

依题意，直线l的倾斜角为，斜率为，而l过原点，因此直线l的方程为：，即，

而圆的圆心为，半径为，于是得圆心到直线l的距离为，

所以直线l与圆相切.故选：C

3．（22-23高二上·安徽芜湖·期中）圆与直线的交点个数为（????）

A．0个 B．1个 C．2个 D．与k的取值有关

【答案】D

【解析】直线，即，

令，解得，故直线l经过点.

又，所以点在圆外，

故直线l与圆的交点个数可能为0、1或2，即与k的取值有关.

故选：D

4．（24-25高二上·上海·随堂练习）已知直线与圆相交，则实数k的取值范围是．

【答案】

【解析】的圆心为则当直线与圆相交时，

圆心到直线的距离小于半径，则解得：故答案为：

5．（24-25高二上·上海·课堂例题）直线与曲线有两个不同的交点，则实数b的取值范围是．

【答案】

【解析】由可得，整理可得，其中，

所以曲线表示圆的下半圆，

如图所示．当直线与曲线相切时，

由图可知，，且有，解得．

当直线过点时，则有．

由图可知，当时，直线与曲线有两个不同的交点．

故答案为：

知识点二直线与圆的弦长

【

【解题思路】

直线与圆相交时的弦长求法

几何法

利用圆的半径r，圆心到直线的距离d，弦长l之间的关系r2＝d2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(l,2)))2解题

代数法

若直线与圆的交点坐标易求出，求出交点坐标后，直接用两点间距离公式计算弦长

弦长公式法

设直线l：y＝kx＋b与圆的两交点为(x1，y1)，(x2，y2)，将直线方程代入圆的方程，消元后利用根与系数的关系得弦长

l＝eq\r(1＋k2)|x1－x2|＝eq\r(?1＋k2?[?x1＋x2?2－4x1x2])

【例2-1】（24-25高二上·上海·期中）若圆与直线相交于A、B两点，则弦的长为．

【答案】

【解析】由圆，可化为，可得圆心为，半径为，

则圆心到直线的距离为，

所以弦长.

故答案为：.

【例2-2】（24-25高二上·上海·课堂例题）过点的直线l与圆C：相交于A、B两点，则的最小值是．

【答案】

【解析】因为圆C：，圆心，半径

所以当过点的直线l垂直于时，弦长取最小值，即.

故答案为：.

【例2-3】（23-24高二下·四川成都·阶段练习）直线，被圆截得最短弦的长为（????）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】直线，

即，由，解得，

设，由于，所以在圆内，

圆的圆心为，半径，如图：

当时，最短，，所以弦长的最小值为.故选：C

【例2-