1.3 空间向量及其运算的坐标表示（解析版）-2024-2025学年【暑假预习】高二数学（人教A版2019选择性必修一）.docxVIP

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1.3空间向量及其运算的坐标表示

知识点一点坐标的书写

【

【解题思路】

1.建立空间直角坐标系的原则

（1）让尽可能多的点落在坐标轴上或坐标平面．

（2）充分利用几何图形的对称性．

2.求某点M的坐标的方法

作MM′垂直平面xOy，垂足M′，求M′的横坐标x，纵坐标y，即点M的横坐标x，纵坐标y，再求M点在z轴上射影的竖坐标z，即为M点的竖坐标z，于是得到M点的坐标(x，y，z)．

3.空间点对称问题的解题策略

(1)空间点的对称问题可类比平面直角坐标系中点的对称问题，要掌握对称点的变化规律，才能准确求解．

(2)对称点的问题常常采用“关于谁对称，谁保持不变，其余坐标相反”这个结论．

【例1-1】（22-23高二·全国·课堂例题）已知是单位正交基底，分别写出下列空间向量的坐标：

(1)；(2)；(3)；(4)．

【答案】(1)(2)(3)(4)

【解析】（1）由题意，是单位正交基底，，∴.

（2）由题意，是单位正交基底，，∴.

（3）由题意，是单位正交基底，，∴.

（4）由题意，是单位正交基底，，∴.

【例1-2】（22-23高二上·浙江台州·阶段练习）已知是空间向量的一组基底，是空间向量的另一组基底，若向量在基底下的坐标为，则向量在基底下的坐标是（????）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】∵向量在基底下的坐标为，∴，

设向量在基底下的坐标是，则，

∴，解得，即.故选：D.

【例1-3】（23-24高二上·四川成都·阶段练习）如图，在长方体中，，以直线分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，则下列结论中不正确的是（????）

A．点关于直线对称的点为 B．点关于点对称的点为

C．点的坐标为 D．点关于平面对称的点为

【答案】C

【解析】由图可得，则点关于直线对称的点为，故A正确；

由于，所以点关于点对称的点为，故B正确；

点的坐标为，故C不正确；

由于点，则点关于平面对称的点为，故D正确.

故选：C.

【例1-4】（22-23高二·全国·课堂例题）长方体的长、宽、高分别为，，．建立适当的空间直角坐标系，并求顶点A，B，C，D，，，，的坐标．

【答案】答案见解析

【解析】以A为原点，分别以有向直线AB，AD，为x轴、y轴、z轴的正方向，以1为单位长度，建立空间直角坐标系A-xyz，

??

则点A，B，C，D都在平面xAy内，因而其竖坐标z都为0，

因此A，B，C，D的坐标分别是，，，．

由于点，，，都在一个垂直于z轴的平面内，又，

所以这四点的竖坐标z都是5．

又过，，，分别作xAy平面的垂线，垂足分别A，B，C，D，

因此，，，的横坐标x、纵坐标y分别与A，B，C，D的横坐标x、纵坐标y相同．

因此，，，的坐标分别是，，，．

【例1-5】（23-24高二下·江苏·课后作业）如图所示，已知平行六面体的底面为边长为的正方形，分别为上、下底面的中心，且在底面上的射影是，且．请建立适当空间直角坐标系，并求点的坐标．

【答案】答案见解析

【解析】四边形为正方向，，

由题意知：平面，

以为坐标原点，正方向为轴，可建立如图所示空间直角坐标系，

，，

则，，，，，.

【变式】

1．（2024湖北）在正方体中，若点是侧面的中心，则在基底下的坐标为（????）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】由题可知，为的中点，

∴，

∴坐标为.故选：D

2．（2024上海）如图，正方体的棱长为a，E，F，G，H，I，J分别是棱，，，AB，BC，的中点，写出正六边形EFGHIJ各顶点的坐标．

【答案】，，，，，.

【解析】因为正方体的棱长为a，E，F，G，H，I，J分别是棱，，，AB，BC，的中点所以，，，，，

3．（22-23高二下·全国·课后作业）在平行六面体中，底面是矩形，，，平行六面体高为，顶点在底面的射影是中点，设的重心，建立适当空间直角坐标系并写出下列点的坐标.

??

(1)；

(2)；

(3)；

【答案】(1)，，，(2)(3)

【解析】（1）??

如图，以为坐标原点，分别以所在直线为轴，以过点作的平行线为轴建立空间直角坐标系．设点，点在平面上则，由图可知它到轴投影对应数值，则，

到轴投影对应数值为，则，即，设点，点在平面上则，

由图可知它到轴投影对应数值，则，到轴投影对应数值为，则，即，

设点，点在平面上则，由图可知它到轴投影对应数值，则，

到轴投影对应数值为，则，即，且点在轴上，则.

（2）是的重心，由三角形重心公式可得

.

（3）设，且，则，，

又，即点B坐标为.

4．（23-24高二·江苏）如图，在三棱柱中，平面平面，，且，，请建立适当空间直角坐标系，并求各个点的坐标．

【答案】答案见解析

【解析】已知平面平面，，

在平面取一向量，由于平面平面，

所以平面，又，所以