北京市北京交通大学附属中学2023-2024学年高二下学期期中练习数学试题 Word版含解析.docx

北京交大附中2023-2024学年第二学期期中练习

高二数学

命题人：贺善菊审核人：杨冰心2024．4

说明：本试卷共4页，共150分．考试时长120分钟．

一、选择题（每道题的四个选项中只有一个选项正确．每小题4分，一共40分）

1.在数列中，，若为等差数列，则（）

A. B. C. D.

【答案】A

【解析】

【分析】利用等差中项求解即可．

【详解】解：由为等差数列得，解得.

故选：A

2.设等差数列的前项和为，若，，使的最小的值为（）

A.4 B.5 C.6 D.4或5

【答案】D

【解析】

【分析】设公差为，依题意得到方程组，求出、，即可求出通项公式，再根据数列的单调性判断即可.

【详解】设公差为，由，，

所以，解得，所以，

令，解得，则数列单调递增，且，

所以当或时取得最小值.

故选：D

3.下列函数中，在上为增函数的是（）

A. B. C. D.

【答案】B

【解析】

【分析】A中根据正弦函数的单调性即可判断；

B中，利用导数判定在上是增函数；

C中，利用导数判定在上是减函数，在，上是增函数；

D中，利用导数判定在上是增函数，在上是减函数．

【详解】解：对于A，是周期函数，当，即时，函数是减函数，不满足题意；

对于B，，，

当时，，在上是增函数；

对于C，，，

当时，，是减函数；

，时，，是增函数；不满足题意；

对于D，，，

当时，，是增函数，

当时，，是减函数，不满足题意．

综上，在上为增函数的是B．

故选：B．

4.函数的最小值为（）

A.0 B. C.1 D.

【答案】B

【解析】

【分析】直接求导，令导函数为0，得到其极值点，分析其单调性即可得到最小值.

【详解】函数，求导得，令，则，

当时，，当时，，

则函数在上单调递减，在上单调递增，

则.

故选：B.

5.已知函数在区间上不单调，则实数的取值范围是（）

A. B. C. D.

【答案】B

【解析】

【分析】求出导函数，利用导数讨论的单调性，结合题意可得运算求解即可.

【详解】由，函数定义域为，

当时，函数单调递增，不合题意；

当时，令，解得；令，解得；

可知在内单调递增，在内单调递减，

若函数在区间不单调，则，解得；

综上所述：实数的取值范围是.

故选：B.

6.数列的通项公式为，则使得“数列是单调递增数列”成立的充分不必要条件可以是（）

A. B. C. D.

【答案】A

【解析】

【分析】根据数列单调递增得到，再求出在上的最小值，即可求出的范围，再进行条件判断选出答案即可.

【详解】因为数列是单调递增数列，

所以，即，化简得，

所以，

令，则在上递增，

所以，所以,

所以使“数列是单调递增数列”的充要条件是，

所以充分不必要条件可以是.

故选：A.

7.已知函数，则“”是“函数在处有极值”的（）

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件

【答案】B

【解析】

【分析】求出函数的导函数，依题意可得，即可得到方程组，解得、再检验，最后根据充分条件、必要条件的定义判断即可.

【详解】解：因为，所以，

所以，解得或；

当时，，即函数在定义域上单调递增，无极值点，故舍去；

当时，，

当或时，当时，满足函数在处取得极值，

所以，

所以由推不出函数在处有极值，即充分性不成立；

由函数在处有极值推得出，即必要性成立；

故“”是“函数在处有极值”的必要不充分条件；

故选：B

8.将一个边长为的正方形铁片的四角截去四个边长均为的小正方形，做成一个无盖方盒．设方盒的容积为，则下列结论错误的是（）

A.

B.

C.在区间上单调递增

D.在时取得最大值

【答案】C

【解析】

【分析】求出容积，利用导数确定其单调性．

【详解】由题意，，的，所以，

，

由得时，，时，，即在上递增，在上递减，

在时取得极大值也是最大值．错误的只有C，

故选：C．

9.已知函数的定义域为，，为的导函数，已知的图象如图所示，则以下四种说法中正确的个数是（）

①函数的图象关于对称

②函数在区间上为增函数

③函数在处的切线的倾斜角大于

④关于的不等式的解集为

A.4 B.3 C.2 D.1

【答案】B

【解析】

【分析】根据导函数的图象得到，即原函数是增函数可判断①②③；令，求判断在上单调性，利用单调性可解不等式可判断④.

【详解】对于①②，因为函数的导函数，

可知在上是单调递增函数，图象不关于对称，故①错误，②正确；

对于③，的图象都在的上方，所以，

设在处的切线的倾斜角为，

则在处切线的斜率，

因为正切函数在的单调递增，所以倾斜角大于，故③正确；

对于④，因为，令，

不等式等价于，

则，可知在上单调