人教A版高中同步学案数学选择性必修第二册精品课件 第四章 数列 4.2.1 第2课时 等差数列的性质及应用 (2).pptVIP

第四章4.2.1第2课时等差数列的性质及应用

学习目标1.能够根据等差数列的定义和通项公式推出等差数列的重要性质.(数学抽象)2.能够运用等差数列的性质解决有关问题.(数学运算)3.能够运用等差数列的知识解决简单的实际问题.(数学模型)

基础落实·必备知识一遍过重难探究·能力素养速提升目录索引学以致用·随堂检测促达标

基础落实·必备知识一遍过

知识点等差数列的常用性质及推广性质1若{an}是等差数列,通项公式的推广:an=am+(n-m)d(n,m∈N*)性质1-1若{an}是等差数列,ap=q,aq=p,则ap+q=0(p,q∈N*,且p≠q)性质2若{an}是等差数列,公差为d,则{a2n}也是等差数列,公差为2d性质2-1若{an}是公差为d的等差数列,则ak,ak+m,ak+2m,…(k,m∈N*)组成公差为md的等差数列性质2-2若{an},{bn}分别是以d1,d2为公差的等差数列,则{pan+qbn}是以pd1+qd2为公差的等差数列性质2-3若数列{an}为等差数列,公差为d,则{λan+m}(λ,m为常数)是公差为λd的等差数列

性质3?若{an}为等差数列,且k+l=m+n(k,l,m,n∈N*),则ak+al=am+an?当k+l=2m时,ak+al=2am性质3-1有穷等差数列中,与首末两项等距离的两项之和都相等,都等于首末两项之和:a1+an=a2+an-1=…=ai+an+1-i=…

2.若{an}为等差数列,且m+n=p(m,n,p∈N*),则am+an=ap一定成立吗?提示从代数角度来理解,d=是an=am+(n-m)d的变形;从函数角度来理解,d就是一次函数图象上两点(n,an),(m,am)间的斜率.提示不一定成立.假设{an}的首项为a1,公差为d,则am+an=2a1+(m+n-2)d,而ap=a1+(p-1)d,只有当a1=d时,am+an=ap成立,否则不成立.微思考1.请从代数及函数角度分析,等差数列{an}中如何理解(n≠m).

3.若{an}为等差数列,则m+n=p+q(m,n,p,q∈N*)是am+an=ap+aq成立的充要条件吗?请说明理由.提示不是充要条件.在等差数列{an}中:若m+n=p+q(m,n,p,q∈N*),则一定有am+an=ap+aq;反之不一定,如{an}是常数列.

重难探究·能力素养速提升重难探究·能力素养速提升

探究点一等差数列性质的应用问题1等差数列的通项公式an=a1+(n-1)d表示了所求项an与首项a1间的关系,能否据此推导等差数列任意两项间的关系?问题2类比等差中项的定义,能否拓展到四项、五项、更多项间的性质?问题3若数列{an}是等差数列,在此数列的基础上,如何取其中的一部分也可构成等差数列?问题4若数列{an},{bn}是等差数列,在此基础上可以通过怎样的方式来构造新的等差数列?

【例1】(1)已知等差数列{an},a5=10,a15=25,求a25的值.分析根据各个题的特征,选择相应等差数列的性质求解.解因为5+25=2×15,所以在等差数列{an}中有a5+a25=2a15,从而a25=2a15-a5=2×25-10=40.

(2)已知等差数列{an},a3+a4+a5+a6+a7=70,求a1+a9的值.解由等差数列的性质,得a3+a7=a4+a6=2a5=a1+a9,所以a3+a4+a5+a6+a7=5a5=70,于是a5=14,故a1+a9=2a5=28.(3)已知数列{an},{bn}都是等差数列,且a1=2,b1=-3,a7-b7=17,求a19-b19的值.解令cn=an-bn,因为{an},{bn}都是等差数列,所以{cn}也是等差数列,设其公差为d,由已知,得c1=a1-b1=5,c7=17,则5+6d=17,解得d=2,故a19-b19=c19=5+18×2=41.规律方法求等差数列基本运算的两种方法一是利用基本量运算,借助于a1,d建立方程组进行运算,这是最基本的方法;二是利用性质运算,运用等差数列的性质可简化计算,往往会有事半功倍的效果.

探究点二等差数列的综合问题问题5如何根据等差数列的关系式来发现其中蕴含的性质,以简化运算?问题6若三项成等差数列,则可以得到什么性质?若四项成等差数列呢?

【例2】(1)设{an}是公差为正数的等差数列,若a1+a2+a3=15,a1a2a3=80,求a11+a12+a13的值.分析由于已知条件中含等差数列前3项的和与积,因此可考虑利用等差中项及等差数列性质求解解(1)设{an}的公差为d(d0),∵a1+a3=2a2,