第8章 第5节　椭圆-2022届高三数学一轮复习讲义（新高考）.doc

第五节椭圆

一、教材概念·结论·性质重现

1．椭圆的定义

平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距，焦距的一半称为半焦距．

集合P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a0，c0，且a，c为常数．

(1)若ac，则集合P为椭圆．

(2)若a＝c，则集合P为线段．

(3)若ac，则集合P为空集．

2．椭圆的标准方程和几何性质

标准方程

eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(ab0)

eq\f(y2,a2)＋eq\f(x2,b2)＝1(ab0)

图形

性质

范围

－a≤x≤a

－b≤y≤b

－b≤x≤b

－a≤y≤a

对称性

对称轴：坐标轴，对称中心：原点

顶点

A1(－a,0)，A2(a,0)，

B1(0，－b)，B2(0，b)

A1(0，－a)，A2(0，a)，

B1(－b,0)，B2(b,0)

轴

长轴A1A2的长为2a；短轴B1B2的长为2b

焦距

|F1F2|＝2c

离心率

e＝eq\f(c,a)∈(0,1)

a，b，c的关系

c2＝a2－b2

(1)椭圆焦点位置与x2，y2系数间的关系：

给出椭圆方程eq\f(x2,m)＋eq\f(y2,n)＝1时，椭圆的焦点在x轴上?mn0，椭圆的焦点在y轴上?0mn.

(2)求椭圆离心率e时，只要求出a，b，c的一个方程，再结合b2＝a2－c2就可求得e(0e1)．

3．直线与椭圆的位置关系

直线与椭圆的位置关系有三种：相离、相切、相交．

二、基本技能·思想·活动体验

1．判断下列说法的正误，对的打“√”，错的打“×”．

(1)平面内与两个定点F1，F2的距离之和等于常数的点的轨迹是椭圆． (×)

(2)椭圆上一点P与两焦点F1，F2构成△PF1F2的周长为2a＋2c(其中a为椭圆的长半轴长，c为椭圆的半焦距)． (√)

(3)椭圆的离心率e越小，椭圆就越圆． (√)

(4)eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a≠b)表示焦点在x轴上的椭圆． (×)

(5)eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(ab0)与eq\f(y2,a2)＋eq\f(x2,b2)＝1(ab0)的焦点坐标相同． (×)

2．椭圆eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,25)＝1的焦点坐标为()

A．(±3,0) B．(0，±3)

C．(±9,0) D．(0，±9)

B解析：根据椭圆方程可得焦点在y轴上，且c2＝a2－b2＝25－16＝9，所以c＝3，故焦点坐标为(0，±3)．

3．已知椭圆C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,4)＝1的一个焦点为(2,0)，则C的离心率为()

A．eq\f(1,3)B．eq\f(1,2)C．eq\f(\r(2),2)D．eq\f(2\r(2),3)

C解析：不妨设a0.因为椭圆C的一个焦点为(2,0)，所以焦点在x轴上，且c＝2，所以a2＝4＋4＝8，所以a＝2eq\r(2)，所以椭圆C的离心率e＝eq\f(c,a)＝eq\f(\r(2),2).

4．若F1(3,0)，F2(－3,0)，点P到F1，F2的距离之和为10，则点P的轨迹方程是______________．

eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,16)＝1解析：因为|PF1|＋|PF2|＝10|F1F2|＝6，所以点P的轨迹是以F1，F2为焦点的椭圆，其中a＝5，c＝3，b＝eq\r(a2－c2)＝4，故点P的轨迹方程为eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,16)＝1.

5．已知点P是椭圆eq\f(x2,5)＋eq\f(y2,4)＝1上y轴右侧的一点，且以点P及焦点F1，F2为顶点的三角形的面积等于1，则点P的坐标为________．

eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(15),2)，1))或eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(15),2)，－1))解析：设P(x，y)，由题意知c2＝a2－b2＝5－4＝1，

所以c＝1，则F1(－1,0)，F2(1,0)．由题意可得点P到x轴的距离为1，所以y＝±1，

把y＝±1代入eq\f(x2,5)＋eq\f(y2,4)＝1，得x＝±eq\f(\r(15),2).

又x＞0，所以x＝eq\f(\r(15),2)，

所以点P坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(15),2)，1))或eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(15),2)，－1)).

考点1椭