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5.1.1变化率问题第五章
内容索引0102基础落实·必备知识全过关重难探究·能力素养全提升03学以致用·随堂检测全达标
课标要求1.理解平均速度和瞬时速度的关系,并能求解平均速度和瞬时速度.2.体会抛物线上割线与切线的关系,能求解抛物线上某点处的切线斜率.
基础落实·必备知识全过关
知识点1平均速度与瞬时速度1.平均速度:物体的位移与所用时间的比值,通常指物体在某一时间段的速度.若物体运动的位移与时间的关系式是s=f(t),函数f(t)在t0与t0+Δt之间的平均速度是
2.瞬时速度:在物理中,做变速运动的物体在不同的时刻,速度是不同的,我们把物体在某一时刻的速度称为瞬时速度.变速运动物体在不同时刻瞬时速度不同名师点睛从物理的角度看,瞬时速度就是将平均速度的时间段改为时间点,即让时间段[t,t+Δt](Δt0)或者[t+Δt,t](Δt0)中的时间间隔|Δt|无限趋近于0,此时时间段[t,t+Δt](Δt0)或者[t+Δt,t](Δt0)内的平均速度就无限趋近于t时刻的瞬时速度.
名师点睛从物理的角度看,瞬时速度就是将平均速度的时间段改为时间点,即让时间段[t,t+Δt](Δt0)或者[t+Δt,t](Δt0)中的时间间隔|Δt|无限趋近于0,此时时间段[t,t+Δt](Δt0)或者[t+Δt,t](Δt0)内的平均速度就无限趋近于t时刻的瞬时速度.
过关自诊1.判断正误.(正确的打√,错误的打×)(1)圆的半径r从0.1变化到0.3时,圆的面积S的平均变化率为0.4π.()(2)已知某质点的运动路程s(单位:m)与时间t(单位:s)的关系为s(t)=5t2,则在1s到3s这段时间内,该质点的平均速度为20m/s.()(3)汽车在行驶时的平均速度与瞬时速度一定不相等.()(4)平均速度刻画运动物体在某一时间段内变化的快慢程度,瞬时速度刻画物体在某一时刻变化的快慢程度.()√√×√
2.平均速度与瞬时速度有什么不同?提示平均速度表示的是运动的物体在某一段时间内的快慢程度.瞬时速度反映的是物体在运动过程的某一时刻的运动情况,能精确表示任一时刻物体运动的快慢和方向.
知识点2割线斜率与切线斜率1.割线与切线的关系如图所示,当点Pn(xn,f(xn))沿着曲线无限趋近于点P0(x0,f(x0))时,割线P0Pn无限趋近于一个确定的位置.这个确定位置的直线P0T称为曲线在点P0处的切线.
2.割线斜率与切线斜率的关系f(x0+Δx)-f(x0)可记为Δy,并且Δy可为正数,可为负数,可为零
过关自诊1.判断正误.(正确的打√,错误的打×)(1)曲线上给定一点P,过点P可以作该曲线的无数条割线.()(2)有的曲线过它上面的某一点可作两条切线.()(3)抛物线上的任意一点处都存在过该点的切线.()(4)“过点P的曲线y=f(x)的切线”与“曲线y=f(x)在点P处的切线”这两句话含意相同.()√×√×
2.如图,我们把一条曲线上的任意一点P附近的图象不断放大,观察有何现象出现?提示平均速度表示的是运动的物体在某一段时间内的快慢程度.瞬时速度反映的是物体在运动过程的某一时刻的运动情况,能精确表示任一时刻物体运动的快慢和方向.
重难探究·能力素养全提升
探究点一求物体运动的平均速度及瞬时速度角度1平均速度【例1】某质点运动的方程为f(x)=-2x2+1(x表示时间,f(x)表示位移),则该质点从x=1到x=2的平均速度为()A.-4 B.-8 C.6 D.-6答案D解析由题得该质点从x=1到x=2的平均速度为故选D.
规律方法求物体运动的平均速度的三个步骤第一步:求时间的改变量x2-x1;第二步:求位移的改变量f(x2)-f(x1);
变式训练1质点的运动规律为s=t2+3(t表示时间,s表示位移),则在时间[3,3+Δt]中,质点的平均速度等于()A.6+Δt B.6+Δt+C.3+Δt D.9+Δt答案A解析平均速度为
角度2瞬时速度【例2】某物体的运动路程s(单位:m)与时间t(单位:s)的关系可用函数s(t)=t2+t+1表示,求物体在t=1s时的瞬时速度.
变式探究1在本例条件不变的前提下,试求物体的初速度.
变式探究2在本例条件不变的前提下,试问物体在哪一时刻的瞬时速度为9m/s.
规律方法求运动物体在t=t0时的瞬时速度的三个步骤(1)求时间改变量Δt和位移改变量s(t0+Δt)-s(t0).
探究点二求解曲线在某点处的割线、切线斜率【例3】设函数f(x)=x(x-6),则此函数图象在x=0处的切线斜率为()A.0
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