2.4 圆的方程（原卷版）-2024-2025学年【暑假预习】高二数学（人教A版2019选择性必修一）.docxVIP

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2.4圆的方程

知识点一圆的标准方程

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【解题思路】

直接法求圆的标准方程

待定系数法求圆的标准方程的一般步骤

①设方程：设圆的标准方程

②列方程组：由已知条件建立a、b、r的方程组

③解方程组：解出a、b、r

④得圆的方程：将a、b、r代入圆的标准方程

(2)几何法即是利用平面几何知识，求出圆心和半径，然后写出圆的标准方程．

【例1】（24-25高二上·全国·假期作业）写出下列圆的标准方程：

(1)圆心为，半径是；

(2)圆心为，且经过点.

(3)圆心是，且过点；

(4)圆心在y轴上，半径为5，且过点；

(5)过点和直线相切，并且圆心在直线上.

(6)经过点，圆心在轴上；

(7)经过直线与的交点，圆心为点.

【变式】

（23-24高二上·广东江门·期中）求满足下列条件的圆的标准方程.

(1)圆心为，经过点；

(2)圆心在直线上，且与轴交于点，.

(3)圆心为，过点；

(4)与轴相交于、两点，且半径等于.

(5)过点和点，半径为．

(6)经过两点，圆心在直线上．

(7)圆心为，半径；

(8)圆心为，过点；

(9)与轴相交于、两点，且半径等于．

知识点二圆的一般方程

【

【解题思路】

圆的一般方程的辨析

(1)由圆的一般方程的定义，若D2＋E2－4F0成立，则表示圆，否则不表示圆．

(2)将方程配方后，根据圆的标准方程的特征求解．

【例2-1】（24-25高二上·上海·课堂例题）已知的三个顶点，，．那么三角形外接圆的方程是．

【例2-2】（23-241高二上·山东泰安·阶段练习）已知圆的圆心在直线上，且过点，，则圆的一般方程为.

【变式】

1．（23-24高二下·湖南长沙·阶段练习）过圆和的交点，且圆心在直线上的圆的方程为（???）

A． B．．

C． D．

2．（23-24高二上·浙江·期中）若直线与两坐标轴的交点为，则以为直径的圆的方程为（????）

A． B．

C． D．

3．（23-24高二上·上海·课后作业）求经过、、三点的圆的方程．

知识点三圆的判断

【例3-1】（22-23高二上·辽宁锦州·期末）已知方程表示圆，则k的取值范围是（????）

A． B． C． D．

【例3-2】（23-24高二上·全国·课后作业）判断下列方程分别表示什么图形，如果是圆，求出它的圆心坐标和半径．

(1)；

(2)；

(3)；

(4)．

【变式】

1．（2024黑龙江双鸭山）方程x2＋y2＋4x－2y＋5m＝0表示圆的条件是（????）

A．m1 B．m1

C．m D．m1

2．（22-23高二上·河北沧州·期中）若圆的面积是，则该圆的圆心坐标为（????）

A． B． C． D．

3．（2023高二上·全国·专题练习）下列方程各表示什么图形？若表示圆，求出其圆心和半径.

(1).

(2).

(3).

知识点四点与圆的位置关系

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【解题思路】

判断点与圆位置关系的两种方法

(1)几何法：主要利用点到圆心的距离与半径比较大小．

(2)代数法：把点的坐标代入圆的标准方程，判断式子两边的大小，并作出判断．

【例4-1】（2023广东东莞·阶段练习）已知点和圆的方程，则它们的位置关系是（????）

A．在圆心 B．在圆上 C．在圆内 D．在圆外

【变式】

1．（2023山西晋中·期中）点与圆的位置关系为．（填“在圆上”“在圆外”“在圆内”）

2．（2024福建厦门·期中）点与圆的的位置关系是（????）

A．在圆外 B．在圆内 C．在圆上 D．不确定

4．（2024·全国·高二课时练习）若点（1，1）在圆的外部，则实数a的取值范围是（???????）

A． B．

C． D．

知识点五与圆有关的轨迹问题

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【解题思路】

求与圆有关的轨迹问题的方程

(1)直接法：直接根据题目提供的条件列出方程．

(2)定义法：根据圆、直线等定义列方程．

(3)代入法：找到要求点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式等．

【例5】（24-25高二上·上海·课后作业）点与圆上任意一点连线的中点的轨迹方程是（????）

A． B．

C． D．

【变式】

1．（23-24高二上·吉林长春·期末）已知点，点在圆上运动，则线段的中点的轨迹方程是（????）

A． B．

C． D．

2．（23-24高二上·北京大兴·期中）已知圆经过点和点，且圆心在直线上．

(1)求圆的方程；

(2)若线段的端点的坐标是，端点在圆上运动，求线段的中点的轨迹方程．

【题组一圆的方程】

1．（24-25高二下·全国·期末）以为圆心，为半径的圆的方程是（???）

A． B．

C． D．

2．（23-24高二下·云南昆明·阶段练习）已知圆与圆关于直线对称，则的方程为（????）

A．