1.4 空间向量的应用（解析版）-2024-2025学年【暑假预习】高二数学（人教A版2019选择性必修一）.docxVIP

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1.4空间向量的应用

知识点一直线的方向向量

【

【解题思路】

直线方向向量

(1)直线上任意两个不同的点都可构成直线的方向向量．

(2)直线的方向向量不唯一．

【例1】（23-24高二上·山西·阶段练习）已知直线l的一个方向向量，且直线l经过和两点，则（????）

A． B． C．1 D．2

【答案】A

【解析】因为，直线的一个方向向量为，所以有向量与向量为共线，

所以，解得，，所以，故选：A.

【变式】

1．（23-24高二上·黑龙江·期末）已知经过点和点的直线的方向向量为，则实数的值为（????）

A． B． C．1 D．

【答案】D

【解析】由题过点和点的直线的方向向量为，所以.故选：D

2．（23-24高二上·吉林长春·期末）过，两点的直线的一个方向向量为，则（????）

A．2 B．2 C．1 D．1

【答案】C

【解析】由题设，，则且，所以，即，可得.

故选：C

3．（22-23高二上·贵州黔东南·期中）一束光线从点出发，经直线反射后经过点，则反射光线所在直线的一个方向向量是（????）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】设关于的对称点为，则，

又因为点与都在反射光线所在的直线上，

所以反射光线所在直线的斜率，

对于A，方向向量对应的直线斜率为，故A错误；

对于B，方向向量对应的直线斜率为，故B正确；

对于C，方向向量对应的直线斜率为，故C错误；

对于D，方向向量对应的直线斜率为，故D错误.

故选：B.

知识点二求平面的法向量

【

【解题思路】

求平面法向量的方法与步骤

(1)求平面ABC的法向量时，要选取平面内两不共线向量，如eq\o(AC,\s\up6(→))，eq\o(AB,\s\up6(→))；

(2)设平面的法向量为n＝(x，y，z)；

(3)联立方程组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(n·\o(AC,\s\up6(→))＝0，,n·\o(AB,\s\up6(→))＝0，))并求解；

(4)所求出向量中的三个坐标不是具体的值而是比例关系，设定一个坐标为常数(常数不能为0)便可得到平面的一个法向量．

【例2】（2024湖南·课后作业）如图，在长方体中，，，，建立适当的空间直角坐标系，求下列平面的一个法向量：

(1)平面ABCD；(2)平面；(3)平面．

【答案】(1)(2)(3)

【解析】（1）以为原点，所在的直线分别为轴，建立空间直角坐标系，

则，所以，

因为平面，所以为平面的一个法向量，所以平面的一个法向量为，

（2）设平面的法向量为，

因为，所以，令，则，

所以平面的一个法向量为，

（3）设平面的法向量为，

因为，所以，令，则

所以平面的一个法向量为

【变式】

1．（23-24高二上·浙江嘉兴·期中）在空间直角坐标系中，，，，则平面的一个法向量为（????）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】由已知，

设平面的一个法向量为，取，解得，

选项A符合，另外选项BCD中的向量与选项A中的向量不共线.故选：A.

2．（23-24高二上·新疆喀什·期中）（多选）在如图所示的空间直角坐标系中，是棱长为1的正方体，给出下列结论中，正确的是（????）

A．直线的一个方向向量为 B．直线的一个方向向量为

C．平面的一个法向量为 D．平面的一个法向量为

【答案】AC

【解析】由题意，，，，，.对于A、B项，可知，

∴向量为直线的一个方向向量，故A正确，B不正确；

对于C项，设平面的法向量为，则.

又，，所以有.令，可得，则C正确；

对于D项，设平面的法向量为，则.

又，，所以有.令，得，故D不正确.故选：AC.

3．（2024湖北）如图所示，已知四边形ABCD是直角梯形，AD∥BC，∠ABC=，SA⊥平面ABCD，SA=AB=BC=1，AD=，试建立适当的坐标系.

（1）求平面ABCD的一个法向量；

（2）求平面SAB的一个法向量；

（3）求平面SCD的一个法向量.

【答案】（1）(0，0，1)；（2），0，0；（3）(2，-1，1).

【解析】以点A为原点，AD、AB、AS所在的直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系：

则A(0，0，0)，B(0，1，0)，C(1，1，0)，D，0，0，S(0，0，1).

（1）∵SA⊥平面ABCD，

∴=(0，0，1)是平面ABCD的一个法向量.

（2）∵AD⊥AB，AD⊥SA，∴AD⊥平面SAB，

∴=，0，0是平面SAB的一个法向量.

（3）在平面SCD中，=，1，0，=(1，1，-1).

设平面SCD的法向量是=(x，y，z)，则⊥，⊥，∴

得方程组

令，则，，∴=(2，-1，1).

所以=(2，-1，1)是平面SCD的一个法向量.

知识点三空间向量证明