1.1 空间向量及其运算（解析版）-2024-2025学年【暑假预习】高二数学（人教A版2019选择性必修一）.docxVIP

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1.1空间向量及其运算

知识点一空间向量的概念辨析

【

【易错点】

1.两向量相等的充要条件是两个向量的方向相同、模相等．

2.两向量互为相反向量的充要条件是大小相等，方向相反．

3.零向量模长为0，方向任意

【例1-1】（23-24高二上·新疆·阶段练习）下列说法正确的是（????）

A．若，则 B．若，互为相反向量，则

C．空间中两平行向量相等 D．在四边形ABCD中，

【答案】D

【解析】对于A，向量不可以比较大小，所以A错误；

对于B,若，互为相反向量，则，故B错误；

对于C，两向量相等需要向量的方向相同，且长度相同，故C错误；

对于D，四边形ABCD中，，故D正确.

故选：D

【例1-2】（23-24高二上·山西临汾·阶段练习）如图，在长方体中，，，，以长方体的八个顶点中的两点为起点和终点的向量中．

??

(1)单位向量共有多少个？

(2)试写出与相等的所有向量．

(3)试写出的相反向量．

【答案】(1)

(2)

(3)

【解析】（1）由题意，单位向量有共个；

（2）由题意，与相等有；

（3）由题意，的相反向量有.

【变式】

1．（23-24高二下·江苏·课前预习）（多选）下列命题为真命题的是（????）

A．若空间向量满足，则

B．在正方体中，必有

C．若空间向量满足，，则

D．任一向量与它的相反向量不相等

【答案】BC

【解析】A为假命题，根据向量相等的定义知，两向量相等，不仅模要相等，而且还要方向相同，

而A中向量的方向不一定相同；

B为真命题，与的方向相同，模也相等，故；

C为真命题，由于空间向量满足，，且向量的相等满足传递性，

故；

D为假命题，零向量的相反向量仍是零向量.

故选：BC

2．（23-24高二下·云南保山·开学考试）（多选）下列关于空间向量的命题中，不正确的是（????）

A．长度相等、方向相同的两个向量是相等向量

B．平行且模相等的两个向量是相等向量

C．若，则

D．两个向量相等，则它们的起点与终点相同

【答案】BCD

【解析】对于选项A：由相等向量的定义知A正确；

对于选项B：平行且模相等的两个向量也可能是相反向量，B错；

对于选项C：若两个向量不相等，但模长仍可能相等，例如不共线的单位向量，C错；

对于选项D：相等向量只要求长度相等、方向相同，而表示两个向量的有向线段的起点不要求相同，D错，

故选：BCD．

3．（22-23高二·全国·课堂例题）如图，在正方体中：

??

(1)向量，，与向量相等吗？

(2)向量，，与向量是相反向量吗？

【答案】(1)相等

(2)是

【解析】（1）由于，，均与的方向相同、长度相等，因而它们均与相等．

（2）由于，，的长度均与的长度相等，但方向相反，因而它们均是的相反向量．

知识点二空间向量的线性运算

【

【解题思路】

1.空间向量加法、减法运算

(1)巧用相反向量

(2)巧用运算法则：巧用三角形法则和平行四边形法则进行向量加、减法运算和相等向量或相反向量进行转化

2.数乘运算

数形结合：利用数乘运算解题时，要结合具体图形，利用三角形法则、平行四边形法则，将目标向量转化为已知向量．

【例2-1】（24-25高一上·全国·假期作业）已知平行六面体，化简下列向量表达式，并在图中标出化简得到的向量：

??

(1)；

(2)；

(3).

【答案】(1)，图见解析

(2)，图见解析

(3)，图见解析

【解析】（1），

向量如图所示，

??

（2）；

向量如图所示，

??

（3），

设是线段的中点，

则.

向量如图所示，

??

【变式】

1．（23-24高二下·湖北孝感·期中）在三棱柱中，是的中点，，则（????）

A． B．

C． D．

【答案】C

【解析】因为，所以，

所以

.

故选：C

2．（23-24高二上·山东青岛·期末）已知四面体中，为中点，若，则（????）

A．3 B．2 C． D．

【答案】D

【解析】根据题意，利用空间向量的运算法则，可得：，

因为，所以，解得.

故选：D.

3．（24-25高一上·全国·假期作业）已知平行六面体，化简下列向量表达式，并在图中标出化简得到的向量：

(1)；

(2)；

(3).

【答案】(1)；作图见解析

(2)；作图见解析

(3)；作图见解析

【解析】（1）；

（2）；

（3），

设是线段的中点，

则.

向量如图所示，

知识点三共线向量

【

【解题思路】

1.空间两个向量共线的充要条件

对于空间任意两个向量，(≠0)，∥的充要条件是存在实数λ，使＝λ

2.共线向量的应用

（1）向量的共线证明了线线平行

（2）判断或证明空间中的三点(如P，A，B)共线的方法

【例3-1】（22-23高二上·新疆伊犁·期末）已知、、为空间三个不共面的向量，向量，，若与共线，则（????