3.3 抛物线（解析版）-2024-2025学年【暑假预习】高二数学（人教A版2019选择性必修一）.docxVIP

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3.3抛物线

知识点一抛物线的标准方程

【

【解题思路】

用待定系数法求抛物线标准方程的步骤

设方程：根据焦点的位置，设出标准方程

列方程：根据条件建立关于参数P的方程

解方程：解关于参数P的方程，求出P的值

得方程：根据参数P的值，写出所求的标准方程

注意：当抛物线的类型没有确定时，可设方程为y2＝mx(m≠0)或x2＝ny(n≠0)，这样可以减少讨论情况的个数．

【例1-1】（2023·新疆·三模）已知抛物线上任意一点到焦点F的距离比到y轴的距离大1，则抛物线的标准方程为（????）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】由题意抛物线上任意一点到焦点F的距离与它到直线的距离相，因此，，抛物线方程为．故选：C．

【例1-2】（2023·河南新乡）已知抛物线的焦点为F，C上一点满足，则抛物线C的方程为（????）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】依题意得，因为，所以.又，解得，

所以抛物线的方程为.故选：D

【变式】

1．（23-24高二上·陕西榆林·期中）已知抛物线：过点，则抛物线的准线方程为（???）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】由于抛物线：过点，所以，，所以抛物线方程为，，，所以抛物线的准线方程为.故选：B.

2．（2024·陕西安康）过点，且焦点在轴上的抛物线的标准方程是（????）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】设抛物线的标准方程为，将点点代入，得，解得，

所以抛物线的标准方程是.故选：B

3．（2024·河南）已知为坐标原点，为抛物线（）的焦点，点在上，且，则的方程为（????）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】由抛物线的定义，可知，又，，所以，得.

由点在上，得，结合，解得.所以的方程为.故选：A.

知识点二抛物线定义的应用

【

【解题思路】1.抛物线定义的应用

实现距离转化．根据抛物线的定义，抛物线上任意一点到焦点的距离等于它到准线的距离，因此，由抛物线定义可以实现点点距与点线距的相互转化，从而简化某些问题．

2.抛物线的简单几何性质

(1)开口：由抛物线标准方程看图象开口，关键是看准二次项是x还是y，一次项的系数是正还是负．

(2)关系：顶点位于焦点与准线中间，准线垂直于对称轴．

(3)定值：焦点到准线的距离为p；过焦点垂直于对称轴的弦(又称为通径)长为2p；离心率恒等于1.

【例2-1】（23-24高二下·内蒙古赤峰·期末）已知点，且是抛物线的焦点，为上任意一点，则的最小值为（????）

A．3 B．4 C．5 D．6

【答案】D

【解析】抛物线的焦点为，准线为，

当时，，因为，所以在抛物线内，

过作于，则，所以，

由图可知当三点共线时，最小，则最小值为.故选：D

【例2-2】（2024·四川成都·模拟预测）设点，动点P在抛物线上，记P到直线的距离为d，则的最小值为（????）

A．1 B．3 C． D．

【答案】D

【解析】由题意可得，抛物线的焦点，准线方程为，

由抛物线的定义可得，

所以，

因为

所以.

当且仅当三点共线时取等号，所以的最小值为

故选：D

【变式】

1．（2024·湖南常德）已知抛物线方程为:，焦点为.圆的方程为，设为抛物线上的点，为圆上的一点，则的最小值为（????）

A．6 B．7 C．8 D．9

【答案】C

【解析】??

由抛物线方程为，得到焦点，准线方程为，过点做准线的垂线，垂足为，

因为点在抛物线上，所以，

所以，当点固定不动时，三点共线，即垂直于准线时和最小，

又因为在圆上运动，由圆的方程为得圆心，半径，所以，

故选：C.

2．（2024·四川成都）已知点分别是抛物线和直线上的动点，若抛物线的焦点为，则的最小值为（????）

A．3 B． C． D．4

【答案】C

【解析】设的坐标为，则，抛物线的焦点，准线方程为，

当点在直线上及右侧，即时，，当且仅当是与直线的交点时取等号，

此时，当且仅时取等号，

当点在直线左侧，即时，点关于的对称点是，则，

，

当且仅当是与直线的交点，且时取等号，而，

所以的最小值为.故选：C

3（2024·全国·模拟预测）已知点，点是抛物线上任一点，为抛物线的焦点，则的最小值为（????）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】由题意得，抛物线的准线方程为，

设，则，，

故．

令，则，由，得，

所以，

令，则，所以，

故当，即时，取得最小值．故选：A．

知识点三直线与抛物线的位置关系

【

【解题思路】

直线与抛物线的位置关系

(1)设直线方程时要特别注意斜率不存在的直线应单独讨论，求解交点时不要忽略二次项系数为0的情况．

(2)一般弦长：|AB|＝eq\r(1＋k2)|x1－x2|＝eq\r(1＋\f(1,k2))|y1－y