2.3 直线的交点坐标与距离公式（解析版）-2024-2025学年【暑假预习】高二数学（人教A版2019选择性必修一）.docxVIP

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2.3直线的交点坐标与距离公式

知识点一交点坐标及其应用

【

【解题思路】求两相交直线的交点坐标．

(1)求两相交直线的交点坐标，关键是解方程组．

(2)解二元一次方程组的常用方法有代入消元法和加减消元法．

【例1-1】（23-24高二上·重庆长寿·期末）直线与直线的交点坐标是（???）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】……①

……②

①+②得：……③

③代入②有：……④

由③④得交点坐标为：.

故选：B.

【例1-2】（24-25高二上·江苏·假期作业）若直线与直线的交点在第一象限，则实数的取值范围是（????）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】，即交点为，

因为交点在第一象限，所以.

故选：A

【例1-3】（23-24高二上·北京·阶段练习）过直线与的交点，且一个方向向量为的直线方程为（????）

A． B．

C． D．

【答案】A

【解析】由，解得，即直线与的交点坐标为，

而该直线的斜率为，所以所求直线的方程为，即.

故选：A

【变式】

1．（22-23高二上·全国·期中）（多选）若直线与直线的交点在第四象限，则实数的取值可以是（???）

A．0 B． C． D．

【答案】AC

【解析】联立方程，解得，

因为交点在第四象限，可得，解得故选：AC.

2．（22-23高二·全国·课后作业）若三条直线，与共有两个交点，则实数的值为（????）

A．1 B．-2 C．1或-2 D．-1

【答案】C

【解析】由题意可得三条直线中，有两条直线互相平行，

∵直线和直线不平行，

∴直线和直线平行或直线和直线平行，

∵直线的斜率为1，直线的斜率为，直线的斜率为，

∴或.

故选：C.

3．（23-24高二上·北京房山·期末）已知直线，则与的交点坐标为；若直线不能围成三角形，写出一个符合要求的实数的值．

【答案】答案不唯一（只需写出中的一个即可）

【解析】解方程组，得，所以与的交点坐标为；

由得，直线恒过定点；若直线不能围成三角形，

只需经过，或与平行，或与平行.

当经过时，图1所示，，；

当与平行时，图2所示，，；

当与平行时，图3所示，，.

故答案为：；或或（只需写出中的一个即可）.

??

图1

??

图2

??

图3

4．（2024·上海奉贤）若关于，的方程组有唯一解，则实数a满足的条件是.

【答案】/

【解析】由，可得，

由关于，的方程组有唯一解，

可得方程有唯一解，则故答案为：

知识点二两点间的距离

【

【解题思路】

计算两点间距离的方法

(1)对于任意两点P1(x1，y1)和P2(x2，y2)，则|P1P2|＝eq\r(?x2－x1?2＋?y2－y1?2).

(2)对于两点的横坐标或纵坐标相等的情况，可直接利用距离公式的特殊情况求解．

【例2-1】（2023高二上·全国·专题练习）已知点，，那么两点之间的距离等于.

【答案】3

【解析】因为点，，则，所以两点之间的距离等于3.

故答案为：3.

【例2-2】（23-24高二上·江苏徐州·期中）已知过两点的直线的倾斜角是，则两点间的距离为（????）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】由题知，，解得，故，则两点间的距离为.故选：C

【例2-3】（2023高二上·全国·专题练习）点到直线：（为任意实数）的距离的最大值是．

【答案】

【解析】将直线方程变形为，

令，解得，由此可得直线恒过点，

所以到直线的最远距离为，此时直线垂直于，

又，

所以到直线的距离的最大值为．

故答案为：

【变式】

1．（23-24高二上·新疆喀什·期中）已知，则（????）

A．3 B．4 C．6 D．8

【答案】D

【解析】因为，则,故选：

2．（23-24高二上·海南·期中）在平面直角坐标系中，原点到直线：与：的交点的距离为（????）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】因为，所以，所以交点坐标为，

所以原点到交点的距离为，

故选：C.

3．（23-24高二上·新疆喀什·期末）已知点与点之间的距离为5，则实数a的值为．

【答案】或

【解析】，化简为，解得：或.

故答案为：或

知识点三点到线的距离

【

【解题思路】

点到直线的距离的求解方法

(1)求点到直线的距离时，只需把直线方程化为一般式方程，直接应用点到直线的距离公式求解即可．

(2)对于与坐标轴平行(或重合)的直线x＝a或y＝b，求点到它们的距离时，既可以用点到直线的距离公式，也可以直接写成d＝|x0－a|或d＝|y0－b|.

(3)若已知点到直线的距离求参数时，只需根据点到直线的距离公式列方程求解参数