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考研线性代数综合竞赛试题

时间：150分总分值：150分

选择题〔每题1分，共20分〕

记行列式为，那么方程的根的个数为

设维行向量，矩阵，其中为阶单位矩阵，那么

3、设均为2阶矩阵，分别为的伴随矩阵，假设，那么分块矩阵的伴随矩阵为〔〕

〔A〕〔B〕〔C〕 〔D〕

4、设，，

，其中可逆，那么

5、设为矩阵，是阶可逆矩阵，矩阵的秩为，矩阵的秩为，那么

与的关系依而定

6、设矩阵的秩，为阶单位矩阵，下述结论中正确的选项是

的任意个列向量必线性无关

的任意一个阶子式不等于零

通过初等行变换，必可以化为形式

非齐次方程一定有无穷多组解

7、设3阶矩阵，假设的伴随矩阵的秩为1，那么必有

或或

或或

8、设矩阵，矩阵相似于，那么秩与秩之和等于

9、设向量组线性无关，向量可由线性表示，而向量不能由线性表示，那么对于任何常数，必有

，线性无关，线性相关

，线性无关，线性相关

10、设向量组

，那么该向量组的极大线性无关组是

11、设是矩阵，是矩阵，那么线性方程组

当时仅有零解当时必有非零解

当时仅有零解当时必有非零解

12、设阶矩阵的伴随矩阵，假设是非齐次线性方程组的互不相等的解，那么对应的齐次线性方程组的根底解系

不存在仅含一个非零解向量

含有两个线性无关的解向量含有三个线性无关的解向量

13、设是4阶矩阵，是A的伴随矩阵，假设是方程组的一个根底解系，那么的根底解系可为〔〕

14、设是四元非齐次线性方程组的三个解向量，且，表示任意常数，那么线性方程组的通解等于

15、设是非奇异矩阵的一个特征值，那么矩阵有一个特征值等于

16、设是阶实对称矩阵，是阶可逆矩阵。维列向量是的属于特征值的特征向量，那么矩阵属于特征值的特征向量是

17、设为阶矩阵，且与相似，为阶单位矩阵，那么

与有相同的特征值和特征向量

与都相似于一个对角矩阵对任意常数，与相似

18、设矩阵，，那么于〔〕

〔A〕合同，且相似 〔B〕合同，但不相似

〔C〕不合同，但相似 〔D〕既不合同，也不相似

19、设、为同阶可逆矩阵，那么

存在可逆矩阵，使

存在可逆矩阵，使存在可逆矩阵和，使

20、设为3阶实对称矩阵，如果二次曲面方程在正交变换下的标准方程的图形如图，那么的正特征值个数为【】

(A)0.(B)1.(C)2.(D)3.

二、填空题〔每空1分，共26分〕

21、设，矩阵，为正整数，那么；

22、设行列式，那么第4行各元素余子式之和的值为；

23、设均为阶矩阵，，那么；

24、假设4阶矩阵与相似，矩阵的特征值为，那么行列式；

25、设3阶矩阵满足，其中为3阶单位矩阵，假设，那么；

26、设矩阵，，那么；

27、设矩阵满足，其中，为单位矩阵，为的伴随矩阵，那么；