3.3 抛物线（原卷版）-2024-2025学年【暑假预习】高二数学（人教A版2019选择性必修一）.docxVIP

PAGE

PAGE1

3.3抛物线

知识点一抛物线的标准方程

【

【解题思路】

用待定系数法求抛物线标准方程的步骤

设方程：根据焦点的位置，设出标准方程

列方程：根据条件建立关于参数P的方程

解方程：解关于参数P的方程，求出P的值

得方程：根据参数P的值，写出所求的标准方程

注意：当抛物线的类型没有确定时，可设方程为y2＝mx(m≠0)或x2＝ny(n≠0)，这样可以减少讨论情况的个数．

【例1-1】（2023·新疆·三模）已知抛物线上任意一点到焦点F的距离比到y轴的距离大1，则抛物线的标准方程为（????）

A． B． C． D．

【例1-2】（2023·河南新乡）已知抛物线的焦点为F，C上一点满足，则抛物线C的方程为（????）

A． B． C． D．

【变式】

1．（23-24高二上·陕西榆林·期中）已知抛物线：过点，则抛物线的准线方程为（???）

A． B． C． D．

2．（2024·陕西安康）过点，且焦点在轴上的抛物线的标准方程是（????）

A． B． C． D．

3．（2024·河南）已知为坐标原点，为抛物线（）的焦点，点在上，且，则的方程为（????）

A． B． C． D．

知识点二抛物线定义的应用

【

【解题思路】1.抛物线定义的应用

实现距离转化．根据抛物线的定义，抛物线上任意一点到焦点的距离等于它到准线的距离，因此，由抛物线定义可以实现点点距与点线距的相互转化，从而简化某些问题．

2.抛物线的简单几何性质

(1)开口：由抛物线标准方程看图象开口，关键是看准二次项是x还是y，一次项的系数是正还是负．

(2)关系：顶点位于焦点与准线中间，准线垂直于对称轴．

(3)定值：焦点到准线的距离为p；过焦点垂直于对称轴的弦(又称为通径)长为2p；离心率恒等于1.

【例2-1】（23-24高二下·内蒙古赤峰·期末）已知点，且是抛物线的焦点，为上任意一点，则的最小值为（????）

A．3 B．4 C．5 D．6

【例2-2】（2024·四川成都·模拟预测）设点，动点P在抛物线上，记P到直线的距离为d，则的最小值为（????）

A．1 B．3 C． D．

【变式】

1．（2024·湖南常德）已知抛物线方程为:，焦点为.圆的方程为，设为抛物线上的点，为圆上的一点，则的最小值为（????）

A．6 B．7 C．8 D．9

2．（2024·四川成都）已知点分别是抛物线和直线上的动点，若抛物线的焦点为，则的最小值为（????）

A．3 B． C． D．4

3（2024·全国·模拟预测）已知点，点是抛物线上任一点，为抛物线的焦点，则的最小值为（????）

A． B． C． D．

知识点三直线与抛物线的位置关系

【

【解题思路】

直线与抛物线的位置关系

(1)设直线方程时要特别注意斜率不存在的直线应单独讨论，求解交点时不要忽略二次项系数为0的情况．

(2)一般弦长：|AB|＝eq\r(1＋k2)|x1－x2|＝eq\r(1＋\f(1,k2))|y1－y2|.

(3)焦点弦长：设焦点的弦的端点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝x1＋x2＋p.

【例3-1】（2024·江苏宿迁）已知抛物线，点，则“”是“过且与仅有一个公共点的直线有3条”的（????）

A．充分条件 B．必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【例3-2】（23-24高二上·全国·课后作业）已知抛物线，直线过定点.讨论直线与抛物线的公共点的情况.

【变式】

1．（23-24高二下·上海·阶段练习）已知抛物线方程，过点的直线与抛物线只有一个交点，这样的直线有（????）条

A．0 B．1 C．2 D．3

2．（2024高三·全国·专题练习）过点与抛物线只有一个公共点的直线有（????）

A．1条 B．2条 C．3条 D．0条

3．（23-24高二上·全国·课后作业）当k为何值时，直线与抛物线有两个公共点？仅有一个公共点？无公共点？

知识点四弦长

【

【解题思路】

直线与抛物线的位置关系

(1)设直线方程时要特别注意斜率不存在的直线应单独讨论，求解交点时不要忽略二次项系数为0的情况．

(2)一般弦长：|AB|＝eq\r(1＋k2)|x1－x2|＝eq\r(1＋\f(1,k2))|y1－y2|.

(3)焦点弦长：设焦点的弦的端点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝x1＋x2＋p.

【例4-1】（23-24高二下·广东茂名·期末）已知直线与抛物线：交于两点，则（????）

A． B．5 C． D．

【例4-2】（2024·江西新余·二模）已知点在抛物线C：上，F为抛物线的焦点，则（O为坐标原点）的面积是（????）

A． B．1 C．2 D．4

【例4-3】（23-24高二下·河南洛阳·期末）