3.1.2 椭圆的性质（解析版）-2024-2025学年【暑假预习】高二数学（人教A版2019选择性必修一）.docxVIP

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3.1.2椭圆

知识点一椭圆的离心率

【

【解题思路】求椭圆离心率及取值范围的两种方法

(1)直接法：若已知a，c可直接利用e＝eq\f(c,a)求解．若已知a，b或b，c可借助于a2＝b2＋c2求出c或a，再代入公式e＝eq\f(c,a)求解．

(2)方程法：若a，c的值不可求，则可根据条件建立a，b，c的关系式，借助于a2＝b2＋c2，转化为关于a，c的齐次方程或不等式，再将方程或不等式两边同除以a的最高次幂，得到关于e的方程或不等式，即可求得e的值或取值范围．

【例1-1】（23-24高二下·贵州毕节·期末）设椭圆的左、右焦点分别为，，点在上，，且椭圆过点，则椭圆的离心率为（????）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】由点在上，，即，所以，

又椭圆过点，则故椭圆方程为，所以离心率，故选：C.

【例1-2】（23-24高二下·广东·期末）椭圆的左、右焦点分别为，，过点且与长轴垂直的直线交椭圆于，两点．若为等边三角形，则椭圆的离心率为（）．

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】设，因为为等边三角形，则，，

因为，所以椭圆的离心率为．

故选：A.

【例1-3】（22-23高二上·北京·期中）已知椭圆的左、右焦点分别为，，点为椭圆与轴的交点，若是钝角三角形，则椭圆的离心率的取值范围是（????）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】??

如图，因为是钝角三角形，所以，

所以，即，

则椭圆的离心率的取值范围是，故A，B，C错误.

故选：D.

【变式】

1（23-24高二下·海南海口·期末）已知，是椭圆C的两个焦点，P是C上的一点，，，则C的离心率为（????）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】

因为所以,

在中,

所以,

所以,

所以.

故选：A.

2（23-24高二下·上海青浦·期末）已知中，，，，则以A、B为焦点，经过点C的椭圆的离心率为．

【答案】/

【解析】由已知，所以，

又点C在椭圆上，所以，所以，

所以椭圆的离心率为.

故答案为：.

3（23-24高二下·广西贵港·期末）已知分别是椭圆的左、右焦点，是上的一点，且，则的离心率为．

【答案】/

【解析】

由，，得，

而，由勾股定理有，

所以，所以，故．

故答案为：.

4（2024·浙江杭州·模拟预测）椭圆：（）的左、右焦点分别为，，过且斜率为的直线与椭圆交于，两点（在左侧），若，则的离心率为.

【答案】/0.4

【解析】设椭圆的半焦距为c，取中点，连接，则，

由，得，于是，则，，

由直线的斜率为，得，即，

而，解得，即，

，于是，解得，

所以的离心率为.

故答案为：

5（23-24重庆·期末）已知，是椭圆的左、右焦点，若椭圆上总存在点，使得，则椭圆的离心率的取值范围为

【答案】

【解析】由椭圆性质可知，当点位于短轴端点时取得最大值，

要使椭圆上总存在点，使得，

??

只需满足，且，

记，则有，且，

所以，解得（舍去）或，

所以，即，

整理得，所以，所以.

知识点二点与椭圆的位置关系

【

【解题思路】点P与椭圆的位置关系

【例2-1】（23-24高二上·河南南阳·阶段练习）点与椭圆的位置关系为（????）

A．点在椭圆上 B．点在椭圆内

C．点在椭圆外 D．不确定

【答案】B

【解析】由于，所以在内，故选：B

【例2-2】（2024·四川广安·阶段练习）点在椭圆的外部，则a的取值范围是（????）

A． B．

C． D．

【答案】B

【解析】因为点在椭圆的外部，所以,解得,

故选：B.

【变式】

1（23-24高二上·全国·课后作业）若点在椭圆上，则下列说法正确的是（????）

A．点不在椭圆上 B．点不在椭圆上

C．点在椭圆上 D．无法判断上述点与椭圆的关系

【答案】C

【解析】点与点关于原点对称，点与关于轴对称，

点与关于轴对称，若点在椭圆上，根据椭圆的对称性，，，三点都在椭圆上，故选：C

2（2024吉林长春·阶段练习）点P(4cosα，2sinα)(α∈R)与椭圆C：＋＝1的位置关系是（????）

A．点P在椭圆C上 B．点P与椭圆C的位置关系不能确定，与α的取值有关

C．点P在椭圆C内 D．点P在椭圆C外

【答案】D

【解析】把点P(2cosα，sinα)(α∈R)代入椭圆方程的左边为＋

＝4（cos2α＋sin2α）＝41，因此点P在椭圆外．故选:D.

3（2023·山东日照）函数（，且）的图象恒过定点，若点在椭圆（，）上，则的最小值为（????）

A．12 B．14 C．16 D．18

【答案】C

【解析】由，即，得，所以，因为点在椭圆上，所以（，），

所以，当且仅当时，等号成立.故选：C

知识