3.1.2 椭圆的性质（原卷版）-2024-2025学年【暑假预习】高二数学（人教A版2019选择性必修一）.docxVIP

PAGE

PAGE1

3.1.2椭圆

知识点一椭圆的离心率

【

【解题思路】求椭圆离心率及取值范围的两种方法

(1)直接法：若已知a，c可直接利用e＝eq\f(c,a)求解．若已知a，b或b，c可借助于a2＝b2＋c2求出c或a，再代入公式e＝eq\f(c,a)求解．

(2)方程法：若a，c的值不可求，则可根据条件建立a，b，c的关系式，借助于a2＝b2＋c2，转化为关于a，c的齐次方程或不等式，再将方程或不等式两边同除以a的最高次幂，得到关于e的方程或不等式，即可求得e的值或取值范围．

【例1-1】（23-24高二下·贵州毕节·期末）设椭圆的左、右焦点分别为，，点在上，，且椭圆过点，则椭圆的离心率为（????）

A． B． C． D．

【例1-2】（23-24高二下·广东·期末）椭圆的左、右焦点分别为，，过点且与长轴垂直的直线交椭圆于，两点．若为等边三角形，则椭圆的离心率为（）．

A． B． C． D．

【例1-3】（22-23高二上·北京·期中）已知椭圆的左、右焦点分别为，，点为椭圆与轴的交点，若是钝角三角形，则椭圆的离心率的取值范围是（????）

A． B． C． D．

【变式】

1（23-24高二下·海南海口·期末）已知，是椭圆C的两个焦点，P是C上的一点，，，则C的离心率为（????）

A． B． C． D．

2（23-24高二下·上海青浦·期末）已知中，，，，则以A、B为焦点，经过点C的椭圆的离心率为．

3（23-24高二下·广西贵港·期末）已知分别是椭圆的左、右焦点，是上的一点，且，则的离心率为．

4（2024·浙江杭州·模拟预测）椭圆：（）的左、右焦点分别为，，过且斜率为的直线与椭圆交于，两点（在左侧），若，则的离心率为.

5（23-24重庆·期末）已知，是椭圆的左、右焦点，若椭圆上总存在点，使得，则椭圆的离心率的取值范围为

知识点二点与椭圆的位置关系

【

【解题思路】点P与椭圆的位置关系

【例2-1】（23-24高二上·河南南阳·阶段练习）点与椭圆的位置关系为（????）

A．点在椭圆上 B．点在椭圆内

C．点在椭圆外 D．不确定

【例2-2】（2024·四川广安·阶段练习）点在椭圆的外部，则a的取值范围是（????）

A． B．

C． D．

【变式】

1（23-24高二上·全国·课后作业）若点在椭圆上，则下列说法正确的是（????）

A．点不在椭圆上 B．点不在椭圆上

C．点在椭圆上 D．无法判断上述点与椭圆的关系

2（2024吉林长春·阶段练习）点P(4cosα，2sinα)(α∈R)与椭圆C：＋＝1的位置关系是（????）

A．点P在椭圆C上 B．点P与椭圆C的位置关系不能确定，与α的取值有关

C．点P在椭圆C内 D．点P在椭圆C外

3（2023·山东日照）函数（，且）的图象恒过定点，若点在椭圆（，）上，则的最小值为（????）

A．12 B．14 C．16 D．18

知识点三直线与椭圆的位置关系

【

【解题思路】直线与椭圆的位置关系

直线y＝kx＋m与椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(ab0)的位置关系的判断方法：联立eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝kx＋m，,\f(x2,a2)＋\f(y2,b2)＝1.))

消去y得到一个关于x的一元二次方程．直线与椭圆的位置关系、对应一元二次方程解的个数及Δ的取值的关系如表所示．

直线与椭圆

解的个数

Δ的取值

两个不同的公共点

两解

Δ0

一个公共点

一解

Δ＝0

没有公共点

无解

Δ0

【例3-1】（23-24高二上·全国·课后作业）直线与椭圆的公共点的个数是（????）

A．0 B．1

C．2 D．无数个

【例3-2】（22-23高二上·河北邯郸·阶段练习）直线与椭圆总有公共点，则m的取值范围是（????）

A． B． C． D．

【例3-3】（23-24高二下·山东烟台·阶段练习）已知直线与焦点在轴上的椭圆总有公共点，则的取值范围（????）.

A． B． C． D．

【变式】

1．（22-23高二上·山东滨州·期中）已知直线，椭圆，则直线与椭圆的位置关系是（????）

A．相交 B．相切 C．相离 D．无法确定

2．（23-24高二上·辽宁葫芦岛·期末）已知直线，椭圆，则与的位置关系为（????）

A．相切 B．相交 C．相离 D．相交或相切

3．（2024河南）若直线和圆没有公共点，则过点的直线与椭圆的公共点个数为（????）

A．0 B．1

C．2 D．需根据a，b的取值来确定

4（2024·湖南衡阳·模拟预测）已知直线与椭圆相切，则的值为（???）

A． B． C． D．

5（22-2