2.4 圆的方程（解析版）-2024-2025学年【暑假预习】高二数学（人教A版2019选择性必修一）.docxVIP

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2.4圆的方程

知识点一圆的标准方程

【

【解题思路】

直接法求圆的标准方程

待定系数法求圆的标准方程的一般步骤

①设方程：设圆的标准方程

②列方程组：由已知条件建立a、b、r的方程组

③解方程组：解出a、b、r

④得圆的方程：将a、b、r代入圆的标准方程

(2)几何法即是利用平面几何知识，求出圆心和半径，然后写出圆的标准方程．

【例1】（24-25高二上·全国·假期作业）写出下列圆的标准方程：

(1)圆心为，半径是；

(2)圆心为，且经过点.

(3)圆心是，且过点；

(4)圆心在y轴上，半径为5，且过点；

(5)过点和直线相切，并且圆心在直线上.

(6)经过点，圆心在轴上；

(7)经过直线与的交点，圆心为点.

【答案】(1)

(2)

(3)

(4)或

(5)或

(6)

(7)

【解析】（1）圆心在，半径长是，故圆的标准方程为．

（2）圆心在，且经过点，故半径为，

故圆的标准方程为．

（3），圆的标准方程为.

（4）设圆心为，则或，

圆心为或，又，圆的标准方程为或.

（5）圆心在上，设圆心为，

设圆心到直线的距离为r.则，①又圆过点，②

由①②得或圆的标准方程为或.

（6）设圆的方程为，由题意得：解得：，所以圆的标准方程为；

（7）联立与，解得：，所以交点为，

则圆的半径为，所以圆的标准方程为.

【变式】

（23-24高二上·广东江门·期中）求满足下列条件的圆的标准方程.

(1)圆心为，经过点；

(2)圆心在直线上，且与轴交于点，.

(3)圆心为，过点；

(4)与轴相交于、两点，且半径等于.

(5)过点和点，半径为．

(6)经过两点，圆心在直线上．

(7)圆心为，半径；

(8)圆心为，过点；

(9)与轴相交于、两点，且半径等于．

【答案】(1)

(2)

(3)

(4)或

(5)或

(6)

(7)

(8)

(9)或；

【解析】（1）由两点间的距离公式可得圆的半径，

故圆的标准方程为.

（2）因为圆与轴交于点，，所以圆心在直线上.

又圆心在直线上，所以圆心的坐标为，

所以圆的半径，故圆的标准方程为.

（3）由题意，圆的半径为，

又圆心为，所以圆方程为；

（4）因为圆与轴相交于、两点，故圆心在线段的垂直平分线上，

又、，所以线段的垂直平分线为，不妨设圆心坐标为，

由半径为且过点可得，解得；

当圆心为时，圆方程为；

当圆心为时，圆方程为；

因此所求圆的方程为或.

（5）设圆心坐标为，则圆的方程为．

因为是圆上的点，所以解得或，

因此所求圆的方程为或．

（6）（方法一）设圆心为，半径为，

则圆的标准方程为．由题意可得方程组．

解此方程组，得，故所求圆的方程为．

（方法二）如图，由于圆心到点的距离相等（都等于半径），

因此圆心在的垂直平分线上，并且处于直线与直线的交点处．

因为，所以是的法向量，故可设直线的方程为．①

又直线过的中点，而的坐标为，即，将其代入①式，解得．

所以直线的方程为，即．圆心的坐标是方程组的解，

解此方程组，得．所以圆心的坐标为．

圆的半径．故所求圆的方程为．

（7）将圆心和半径代入圆的标准方程可得圆的方程为；

（8）易知圆的半径为，所以圆方程为；

（9）易知圆心在线段的垂直平分线上，

不妨设圆心坐标为，由半径为可得，解得；

当圆心为时，圆方程为；

当圆心为时，圆方程为；

因此所求圆的方程为或；

知识点二圆的一般方程

【

【解题思路】

圆的一般方程的辨析

(1)由圆的一般方程的定义，若D2＋E2－4F0成立，则表示圆，否则不表示圆．

(2)将方程配方后，根据圆的标准方程的特征求解．

【例2-1】（24-25高二上·上海·课堂例题）已知的三个顶点，，．那么三角形外接圆的方程是．

【答案】

【解析】设的外接圆方程为，则

，解得，

所以三角形外接圆的方程为.

故答案为：

【例2-2】（23-241高二上·山东泰安·阶段练习）已知圆的圆心在直线上，且过点，，则圆的一般方程为.

【答案】

【解析】方法一：设所求圆的标准方程为，

由题意得:，

解得：

故所求圆的方程为，

即.

方法二：线段的中点坐标为，即，

直线的斜率为，

所以线段的垂直平分线的斜率为，

所以线段的垂直平分线方程为，即，

由几何性质可知：线段的垂直平分线与的交点为圆心，

联立，

得交点坐标，

又点到点的距离，即半径为，

所以圆的方程为，

即.

故答案为：

【变式】

1．（23-24高二下·湖南长沙·阶段练习）过圆和的交点，且圆心在直线上的圆的方程为（???）

A． B．．

C． D．

【答案】A

【解析】由题意设所求圆的方程为，

即，圆心坐标为，代入中，

即，解得，将代入中，即，满足，故所求圆的方程为，故选：A

2．（23-24高二上·浙江·期中）若直线与两坐标轴的交点为，