2.2 直线的方程（解析版）-2024-2025学年【暑假预习】高二数学（人教A版2019选择性必修一）.docxVIP

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2.2直线方程

知识点一点斜式

【

【解题思路】

直线的点斜式方程的步骤

(1)求直线的点斜式方程的步骤：定点(x0，y0)→定斜率k→写出方程y－y0＝k(x－x0)．

(2)点斜式方程y－y0＝k·(x－x0)可表示过点P(x0，y0)的所有直线，但x＝x0除外．

【例1】（2024江苏淮安·阶段练习）写出下列直线的点斜式方程．

（1）经过点，且其倾斜角与直线相等；

（2）经过点，且与轴平行；

（3）经过点，且与轴垂直．

(4)经过点，斜率为3；

(5)经过点，倾斜角是；

(6)经过点，倾斜角是．

【答案】（1）；（2）；（3）.(4)(5)(6)

【解析】（1）设直线的倾斜角为，则，因为所求直线的倾斜角与直线相等，所以，又经过点，所以点斜式方程.

（2）因为与轴平行，所以，又经过点，所以点斜式方程.

（3）因为与轴垂直．所以斜率不存在，又经过点，所以直线方程为.

（4）由题意可知，将和斜率3直接代入直线点斜式方程可得，直线的点斜式方程为；

（5）由倾斜角是可得直线斜率，将代入点斜式方程即为

（6）由倾斜角是可得直线斜率，将代入点斜式方程即为

【变式】

（23-24新疆）根据条件写出下列直线的点斜式方程：

(1)经过点A(2，5)，斜率是4；

(2)经过点B(2，3)，倾斜角是45°；

(3)经过点C(－1,－1)，与x轴平行．

(4)P（2，3），；

(5)P（-2，-1），；

(6)P（-5，-1），．

（7）经过点，斜率是；

（8）经过点，倾斜角是；

（9）经过点，倾斜角是；

（10）经过点倾斜角是．

【答案】(1)y－5＝4(x－2)(2)y－3＝x－2(3)y+1＝0(4)(5)(6)

（7）；（8）；（9）；（10）；

【解析】（1）∵经过点A(2，5)，斜率是4，∴所求直线方程为y－5＝4(x－2).

（2）∵直线的斜率k＝tan45°＝1，∴直线方程为y－3＝x－2.

（3）∵经过点C(－1,－1)，与x轴平行，∴斜率为0，∴方程为y+1＝0.

（4）直线倾斜角，则直线斜率，直线l经过点，直线l的点斜式方程为.

（5）直线倾斜角，则直线斜率，直线l经过点，直线l的点斜式方程为.

（6）直线倾斜角，直线斜率不存在，直线l经过点，直线l的方程为.

（7）因为直线经过点，斜率是，所以直线的点斜式方程为；

（8）因为直线经过点，倾斜角是，所以斜率为

所以直线的点斜式方程为；

（9）经过点，倾斜角是，所以斜率为所以直线的点斜式方程为；

（10）经过点，倾斜角是，所以斜率为所以直线的点斜式方程为；

知识点二斜截式

【

【解题思路】

求直线的斜截式方程的思路

(1)斜截式方程的应用前提是直线的斜率存在．

(2)直线的斜截式方程y＝kx＋b中只有两个参数，因此要确定直线方程只需两个独立条件即可．

【例2】（2024湖北）写出下列直线的斜截式方程：

(1)斜率是，在轴上的截距是；

(2)倾斜角为，在轴上的截距是；

(3)倾斜角为，在轴上的截距是．

【答案】(1)(2)(3)

【解析】（1）

（2）因为，所以．

（3）因为，所以．

【变式】

1．（2024四川眉山·阶段练习）已知直线l经过点A.且它的倾斜角是直线的倾斜角的两倍，则直线l的斜截式方程为.

【答案】

【解析】由知此直线的斜率为，设直线的倾斜角为，可得，所以，设直线l的倾斜角为，则，斜率为，根据点斜式可得：，

整理可得：.故答案为：.

2．（22-23高一下·上海杨浦·期末）直线l：绕着点逆时针旋转与直线重合，则的斜截式方程是.

【答案】

【解析】设直线l的倾斜角为，则，则，

所以直线，故答案为：.

3．（2023高二下·山东潍坊·阶段练习）写出下列直线的斜截式方程：

(1)倾斜角为45°且在y轴上的截距为2；

(2)直线过点（3，1）且在y轴上截距是-1.

(3)斜率为2，在y轴上的截距是5；

(4)倾斜角为150°，在y轴上的截距是－2；

(5)倾斜角为60°，与y轴的交点到坐标原点的距离为3.

【答案】(1)(2)(3)y＝2x＋5(4)y＝－x－2(5)y＝x＋3或y＝x－3

【解析】（1）斜率，截距，；

（2）等价于直线过两点，直线方程为，即；

综上，（1），（2）.

（3）由直线方程的斜截式可知，所求直线的斜截式方程为y＝2x＋5.

（4）由于直线的倾斜角为150°，所以斜率k＝tan150°＝－，

故所求直线的斜截式方程为y＝－x－2.

（5）因为直线的倾斜角为60°，所以斜率k＝tan60°＝．

因为直线与y轴的交点到坐标原点的距离为3，

所以直线在y轴上的截距b＝3或b＝－3，

故所求直线的斜截式方程为y＝x＋3或y＝x－3.

知识点三两