1.4 空间向量的应用（原卷版）-2024-2025学年【暑假预习】高二数学（人教A版2019选择性必修一）.docxVIP

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1.4空间向量的应用

知识点一直线的方向向量

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【解题思路】

直线方向向量

(1)直线上任意两个不同的点都可构成直线的方向向量．

(2)直线的方向向量不唯一．

【例1】（23-24高二上·山西·阶段练习）已知直线l的一个方向向量，且直线l经过和两点，则（????）

A． B． C．1 D．2

【变式】

1．（23-24高二上·黑龙江·期末）已知经过点和点的直线的方向向量为，则实数的值为（????）

A． B． C．1 D．

2．（23-24高二上·吉林长春·期末）过，两点的直线的一个方向向量为，则（????）

A．2 B．2 C．1 D．1

3．（22-23高二上·贵州黔东南·期中）一束光线从点出发，经直线反射后经过点，则反射光线所在直线的一个方向向量是（????）

A． B． C． D．

知识点二求平面的法向量

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【解题思路】

求平面法向量的方法与步骤

(1)求平面ABC的法向量时，要选取平面内两不共线向量，如eq\o(AC,\s\up6(→))，eq\o(AB,\s\up6(→))；

(2)设平面的法向量为n＝(x，y，z)；

(3)联立方程组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(n·\o(AC,\s\up6(→))＝0，,n·\o(AB,\s\up6(→))＝0，))并求解；

(4)所求出向量中的三个坐标不是具体的值而是比例关系，设定一个坐标为常数(常数不能为0)便可得到平面的一个法向量．

【例2】（2024湖南·课后作业）如图，在长方体中，，，，建立适当的空间直角坐标系，求下列平面的一个法向量：

(1)平面ABCD；(2)平面；(3)平面．

【变式】

1．（23-24高二上·浙江嘉兴·期中）在空间直角坐标系中，，，，则平面的一个法向量为（????）

A． B． C． D．

2．（23-24高二上·新疆喀什·期中）（多选）在如图所示的空间直角坐标系中，是棱长为1的正方体，给出下列结论中，正确的是（????）

A．直线的一个方向向量为 B．直线的一个方向向量为

C．平面的一个法向量为 D．平面的一个法向量为

3．（2024湖北）如图所示，已知四边形ABCD是直角梯形，AD∥BC，∠ABC=，SA⊥平面ABCD，SA=AB=BC=1，AD=，试建立适当的坐标系.

（1）求平面ABCD的一个法向量；

（2）求平面SAB的一个法向量；

（3）求平面SCD的一个法向量.

知识点三空间向量证明空间平行

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【解题思路】

1.利用向量证明线线平行的思路：证明线线平行只需证明两条直线的方向向量共线即可．

2.证明线面平行问题的方法

(1)证明直线的方向向量与平面内的某一向量是共线向量且直线不在平面内；

(2)证明直线的方向向量可以用平面内两个不共线向量表示且直线不在平面内；

(3)证明直线的方向向量与平面的法向量垂直且直线不在平面内．

3.证明面面平行问题的方法

(1)利用空间向量证明面面平行，通常是证明两平面的法向量平行．

(2)将面面平行转化为线线平行然后用向量共线进行证明．

【例3-1】（2024高二·全国·专题练习）如图，在四棱锥中，底面为矩形，底面，，，为的中点，为的中点，求证：直线平面.

【例3-2】（23-24高二上·四川成都·期中）如图，在长方体中，，，.

(1)求证：平面平面.

(2)线段上是否存在点P，使得平面？若存在，求出点P的位置；若不存在，请说明理由.

【变式】

1．（23-24高二上·内蒙古赤峰·期末）直线的一个方向向量为，平面的一个法向量为，则（????）

A．B．C．或D．与的位置关系不能判断

2．（2024高二上·全国·专题练习）如图，在四棱柱中，侧棱底面，，，且点分别为和的中点，求证：平面.

3．（2023高三·全国·专题练习）在苏州博物馆有一类典型建筑八角亭，既美观又利于采光，其中一角如图所示，为多面体，，，，底面，四边形是边长为2的正方形且平行于底面，，，的中点分别为，，，．证明：//平面；

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知识点四空间向量证明空间垂直

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【解题思路】

1.证明两直线垂直的基本步骤

建立空间直角坐标系→写出点的坐标→求直线的方向向量→证明向量垂直→得到两直线垂直．

2.用坐标法证明线面垂直的方法及步骤

(1)利用线线垂直

①将直线的方向向量用坐标表示．

②找出平面内两条相交直线，并用坐标表示它们的方向向量．

③判断直线的方向向量与平面内两条直线的方向向量垂直．

(2)利用平面的法向量

①将直线的方向向量用坐标表示．

②求出平面的法向量．

③判断直线的方向向量与平面的法向量平行．

3.证明面面垂直的两种方法

(1)常规法：利用面面垂直的判定定理转化为线面垂直、线线垂直去证明．

(2)法向量法：证明两个平面的法