1.1 空间向量及其运算（原卷版）-2024-2025学年【暑假预习】高二数学（人教A版2019选择性必修一）.docxVIP

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1.1空间向量及其运算

知识点一空间向量的概念辨析

【

【易错点】

1.两向量相等的充要条件是两个向量的方向相同、模相等．

2.两向量互为相反向量的充要条件是大小相等，方向相反．

3.零向量模长为0，方向任意

【例1-1】（23-24高二上·新疆·阶段练习）下列说法正确的是（????）

A．若，则 B．若，互为相反向量，则

C．空间中两平行向量相等 D．在四边形ABCD中，

【例1-2】（23-24高二上·山西临汾·阶段练习）如图，在长方体中，，，，以长方体的八个顶点中的两点为起点和终点的向量中．

??

(1)单位向量共有多少个？

(2)试写出与相等的所有向量．

(3)试写出的相反向量．

【变式】

1．（23-24高二下·江苏·课前预习）（多选）下列命题为真命题的是（????）

A．若空间向量满足，则

B．在正方体中，必有

C．若空间向量满足，，则

D．任一向量与它的相反向量不相等

2．（23-24高二下·云南保山·开学考试）（多选）下列关于空间向量的命题中，不正确的是（????）

A．长度相等、方向相同的两个向量是相等向量

B．平行且模相等的两个向量是相等向量

C．若，则

D．两个向量相等，则它们的起点与终点相同

3．（22-23高二·全国·课堂例题）如图，在正方体中：

??

(1)向量，，与向量相等吗？

(2)向量，，与向量是相反向量吗？

知识点二空间向量的线性运算

【

【解题思路】

1.空间向量加法、减法运算

(1)巧用相反向量

(2)巧用运算法则：巧用三角形法则和平行四边形法则进行向量加、减法运算和相等向量或相反向量进行转化

2.数乘运算

数形结合：利用数乘运算解题时，要结合具体图形，利用三角形法则、平行四边形法则，将目标向量转化为已知向量．

【例2-1】（24-25高一上·全国·假期作业）已知平行六面体，化简下列向量表达式，并在图中标出化简得到的向量：

??

(1)；

(2)；

(3).

【变式】

1．（23-24高二下·湖北孝感·期中）在三棱柱中，是的中点，，则（????）

A． B．

C． D．

2．（23-24高二上·山东青岛·期末）已知四面体中，为中点，若，则（????）

A．3 B．2 C． D．

3．（24-25高一上·全国·假期作业）已知平行六面体，化简下列向量表达式，并在图中标出化简得到的向量：

(1)；

(2)；

(3).

知识点三共线向量

【

【解题思路】

1.空间两个向量共线的充要条件

对于空间任意两个向量，(≠0)，∥的充要条件是存在实数λ，使＝λ

2.共线向量的应用

（1）向量的共线证明了线线平行

（2）判断或证明空间中的三点(如P，A，B)共线的方法

【例3-1】（22-23高二上·新疆伊犁·期末）已知、、为空间三个不共面的向量，向量，，若与共线，则（????）

A． B． C． D．

【例3-2】（2024湖北）如图所示，在正方体中，点在上，且，点在体对角线上，且．求证：，，三点共线．

??

【变式】

1．（2023·贵州六盘水·模拟预测）已知，，不共面，若，，且三点共线，则（????）

A．0 B．1 C．2 D．3

2．（23-24高二上·辽宁·期中）设向量不共面，已知，，若三点共线，则（????）

A．0 B．1 C．2 D．3

3．（23-24高二上·上海·课后作业）设是空间两个不共线的非零向量，已知，，，且三点共线，则实数k的值为．

4．（23-24高二上·全国·课后作业）在正方体中，G为的重心，证明：三点共线.

5．（2023高二·江苏·专题练习）已知、、、、、、、、为空间的个点（如图所示），并且，，，，．求证：．

知识点四共面向量

【

【解题思路】

1.若已知点P在平面ABC内，则有eq\o(AP,\s\up6(→))＝xeq\o(AB,\s\up6(→))＋yeq\o(AC,\s\up6(→))或eq\o(OP,\s\up6(→))＝xeq\o(OA,\s\up6(→))＋yeq\o(OB,\s\up6(→))＋zeq\o(OC,\s\up6(→))(x＋y＋z＝1)，然后利用指定向量表示出已知向量，用待定系数法求出参数．

2.证明三个向量共面(或四点共面)，需利用共面向量定理，证明过程中要灵活进行向量的分解与合成，将其中一个向量用另外两个向量来表示．

【例4-1】（23-24高二上·浙江杭州·期末）对于空间一点和不共线三点，且有，则（????）

A．四点共面 B．四点共面

C．四点共面 D．五点共面

【例4-2】（23-24高二上·辽宁大连·期中）已知，，三点不共线，对空间任意一点，若，则可以得到结论是四点（????）

A．共面 B．不一定共面

C．无法判断是否共面 D．不共面

【