《用空间向量研究距离问题》同步学案(学生版).docxVIP

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《用空间向量研究距离问题》同步学案

情境导入

1.空间中的距离包括哪些?

提示:点到直线、点到平面、两条平行直线以及两个平行平面的距离.

2.求解空间距离常用的方法有哪些?

提示:定义法,转化法,等体积法和向量法.

自主学习

自学导引

1.点到直线的距离

如图,已知直线l的单位方向向量为u,A是直线l上的定点,P是直线l外一点.设AP=a,则向量AP在直线l

在RtΔAPQ中,由勾股定理,得PQ=

2.点到平面的距离

如图,已知平面α的法向量为n,A是平面α内的定点,P是平面α外一点.过点P作平面α的垂线l,交平面α于点Q,则n是直线l的方向向量,且点P到平面α的距离就是AP在直线l上的投影向量QP的长度.因此PQ=_________=________=

预习测评

1.已知点A111,B-3

A.4

B.2

C.4

D.3

2.已知平面α的一个法向量n=-2-21,点A(-1,3,0)在α内,则点P

A.10

B.3

C.8

D.10

3.已知平面α//平面β,直线l?α,α与β之间的距离为d,有下列四个命题:

①β内有且仅有一条直线与l的距离为d;

②β内所有的直线与l的距离都等于d;

③β内有无数条直线与l的距离为d;

④β内所有直线与α的距离都等于d.

其中真命题是()

A.①

B.②

C.①④

D.③④

4.若三棱锥P-ABC的三条侧棱两两垂直,且满足PA=PB=PC=1,则点P到平面ABC的距离是()

A.6

B.6

C.3

D.3

新知探究

探究点1点到直线的距离、两条平行直线之间的距离

知识详解

1.点到直线的距离

如图,已知直线l的单位方向向量为u,A是直线l上的定点,P是直线l外一点

设AP=a,则向量AP在直线l上的投影向量

在RtΔAPQ中,由勾股定理,得PQ=|

2.两条平行直线之间的距离

求两条平行直线之间的距离的关键是在其中的一条直线上取一定点,则该点到另一条直线的距离即为两条平行直线之间的距离.

典例探究

例1如图,在空间直角坐标系中,有长方体ABCDABCD,AB=1,BC=2,AA=3,则点B到直线AC的距离为______.

变式训练1已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2,E,F分别是C

探究点2点到平面、直线到平面、两个平行平面的距离

知识详解

1.点到平面的距离

如图,已知平面α的法向量为n,A是平面α内的定点,P是平面α外一点.过点P作平面α的垂线l,交平面α于点Q,则n是直线l的方向向量,且点P到平面α的距离就是AP在直线l上的投影向量QP的长度.因此

2.直线到平面的距离

如图,设直线a//平面α,A∈a,B∈α,n是平面α的法向量,过A作AC?α,垂足为C

因为AB?

所以|AB

所以直线a到平面α的距离d=|AC

3.两个平行平面的距离

如图

(1)用公式d=|AB?n||n|

(2)转化为点到平面的距离或直线到平面的距离来求解.

典例探究

例2已知在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,底面边长为2,

变式训练2如图,正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,O是平面A

A.1

B.2

C.2

D.3

变式训练3已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a,点E,F分别在

(1)求证:EF//平面ABC

(2)求直线EF到平面ABC1D

变式训练4如图,在棱长为a的正方体ABCDA1B1C1D1

易错易混解读

例如图所示,在三棱锥S-ABC中,ΔABC是边长为4的正三角形,平面SAC?平面ABC,SA=SC=23,M,N分别为AB,SB的中点,求点B到平面CMN

课堂检测

1.已知直线l过定点A231,且方向向量为n=(0,1,1),则点P

A.3

B.2

C.10

D.2

2.两平行平面α,β分别经过坐标原点O和点A211,且两平面的一个法向量为n

A.3

B.2

C.3

D.3

3.若三棱锥P-ABC的三条侧棱两两垂直,且满足PA=PB=PC=1,则点P到平面ABC的距离是()

A.6

B.6

C.3

D.3

4.已知直线AB//平面α,平面α的法向量n=101,平面α内一点C的坐标为001,直线AB上点A的坐标为12

课堂小结