新高考数学二轮复习讲义+分层训练专题01 指对幂比较大小（解析版）.docVIP

专题01指对幂比较大小

【考点1】指数函数

1.定义：函数叫做指数函数，定义域为.

2.性质：

图

象

性

质

（1）定义域：R

（2）值域：（0，+∞）

（3）过定点（0，1），即x=0时，y=1

（4）增函数

（4）减函数

（5）;

（5）;

【考点2】对数函数

1.定义：函数叫做对数函数，定义域是.

2.性质：

图

象

性

质

（1）定义域：（0，+∞）

（2）值域：R

（3）过定点（1，0），即x=1时，y=0

（4）在（0，+∞）上是增函数

（4）在（0，+∞）上是减函数

（5）；；

（5）；

【考点3】幂函数

1、幂函数定义

一般地，形如的函数称为幂函数，其中是自变量，是常数．

2、五种常见幂函数

函数

图象

性质

定义域

值域

奇偶性

奇函数

偶函数

奇函数

非奇非偶函数

奇函数

单调性

在上单调递增

在上单调递减；在上单调递增

在上单调递增

在上单调递增

在和上单调递减

公共点

3、幂函数性质（高频考点）

幂函数，在

①当时，在单调递增；

②当时，在单调递减；

方法一：放缩法

1、对数，利用单调性，放缩底数，或者放缩真数

2、指数和幂函数结合来放缩。

3、利用均值不等式等不等关系放缩

4、“数值逼近”是指一些无从下手的数据，如果分析会发现非常接近某些整数（主要是整数多一些），那么可以以该“整数”为变量，构造四舍五入函数关系，2021年全国卷乙卷第12题即是此思维.

方法二：作差法、作商法

1.一般情况下，作差或者做商，可处理底数不一样的的对数比大小

2.作差或者做商的难点在于后续变形处理，注意此处的常见技巧和方法解

方法三：构造函数，运用函数的单调性比较

学习和积累“构造函数比大小”，要先从此处入手，通过这个函数，学习观察，归纳，总结“同构”规律，还要进一步总结“异构”规律，为后续积累更复杂的“构造函数”能力做训练.

构造函数，.观察总结“同构”规律，许多时候，三个数比较大小，可能某一个数会被刻意的隐藏了“同构”规律，所以可以优先从结构最接近的两个数规律.

1.对于抽象函数，可以借助中心对称、轴对称、周期等性质来“去除f（）外衣”比较大小；

2.有解析式函数，可以通过函数性质或者求导等，寻找函数单调性对称性，以用于比较大小.

题型一:简单放缩比较大小

例1．（1）、（2022·天津·高考真题）已知，，，则（

）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】利用幂函数、对数函数的单调性结合中间值法可得出、、的大小关系.

【详解】因为，故.

故答案为：C.

（2）、（2022•天津模拟）设，b＝0.50.8，c＝0.8﹣0.5，则a、b、c的大小关系为（）

A．c＜b＜a B．b＜a＜c C．a＜b＜c D．c＜a＜b

【分析】利用对数函数的单调性可判断＜0.5，再利用指数函数的单调性判断b、c即可．

【解答】解：∵＜ln＝0.5，

0.5＝0.51＜0.50.8＜0.50＝1，

即0.5＜b＜1，

c＝0.8﹣0.5＞0.80＝1，

∴a＜b＜c，

故选：C．

【点评】本题考查三个数的大小的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意对数函数和指数函数的性质的合理运用

【变式训练1-1】、（2021·天津·高考真题）设，则a，b，c的大小关系为（

）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】根据指数函数和对数函数的性质求出的范围即可求解.

【详解】，，

，，

，，

.

故选：D.

【变式训练1-2】、（2022•东湖区校级三模）已知a＝log29，b＝e0.6，c＝20.55，则a，b，c的大小关系为（）

A．b＞a＞c B．b＞c＞a C．a＞b＞c D．a＞c＞b

【分析】通过临界值即与函数的单调性即可比较大小．

【解答】解：因为a＝log29＞log28＝3，b＝e0.6＜e1≈2.7，所以a＞b．

又因为e＞e0.55＞20.55，所以b＞c，所以选项C正确．

故选：C．

【点评】本题主要考查指数对数运算，属于简单题．

题型二:作差法或作商法比较大小

例2．（1）、（2022·全国·高三专题练习）已知则（

）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】首先用作差法及基本不等式判断、，再由幂函数的性质得到，再令，利用导数说明函数的单调性，即可判断、.

【详解】解：

因为，即，

所以，即，

又，

令，则，所以当时，当时，所以，

即，当且仅当时取等号，所以，

令，则，所以当时，

所以在上单调递增，显然，又，所以，

即，

所以，即；

故选：C

（2）、（2022·四川省南充高级中学模拟预测（文））已知，则（

）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】利用作差法，结合基本不等式判断大小，再构造函数判断与的大小关系即可.

【详解】对，

因为，即