人教A版高中数学必修第二册精品课件 第8章 立体几何初步 8.6.2 第1课时 直线与平面垂直的判定定理.pptVIP

8.6.2直线与平面垂直第1课时直线与平面垂直的判定定理

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一、直线与平面互相垂直的定义1.过平面上一点,是否有无数条直线垂直于平面呢?提示:不是,有且只有一条.

2.直线与平面垂直的定义

3.已知直线l⊥平面α,直线m?α,则l与m不可能()A.平行 B.相交 C.异面 D.垂直答案:A

二、直线与平面垂直的判定定理1.鲁班是我国古代一位出色的发明家,他在做木匠活时,常常遇到有关直角的问题.虽然他手头有画直角的矩,但用起来很费事.于是,鲁班对矩进行改进,做成一把叫做曲尺的“L”形木尺.现在木工要检查一根木棒是否和板面垂直,只需用曲尺在不同的方向(但不是相反的方向)检查两次,如上图.如果两次检查时,曲尺的两边都分别与木棒和板面密合,便可以判定木棒与板面垂直.用“L”形木尺检查一次能判定木棒与板面垂直吗?提示:不能.

2.直线与平面垂直的判定定理

3.(多选题)一条直线垂直于一个平面内的下列各种情况,能保证该直线与平面垂直的是()A.平行四边形的两条对角线B.梯形的两条边C.圆的两条直径D.正六边形的两条边答案:AC

三、直线与平面所成的角1.类比用异面直线所成角刻画异面直线不同的倾斜程度,能用角来表示直线与平面相交时不同的倾斜程度吗?提示:能.

2.(1)一条直线l与一个平面α相交,但不与这个平面垂直,这条直线叫做这个平面的斜线,斜线和平面的交点A叫做斜足.过斜线上斜足以外的一点P向平面α引垂线PO,过垂足O和斜足A的直线AO叫做斜线在这个平面上的射影.平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的角,叫做这条直线和这个平面所成的角.?如图,∠PAO就是斜线AP与平面α所成的角.

(2)一条直线垂直于平面,我们说它们所成的角是90°.(3)一条直线和平面平行,或在平面内,我们说它们所成的角是0°.(4)直线与平面所成的角θ的取值范围是0°≤θ≤90°.

3.(1)若AB是平面α的斜线段,其长为a,它在平面α内的射影AB的长为b,则垂线段AA的长度为.?(2)如图所示,在三棱锥P-ABC中,PA⊥平面ABC,PA=AB,则直线PB与平面ABC所成的角为.?

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探究一直线与平面垂直的定义【例1】(多选题)下列命题中的真命题是()A.若直线l与平面α内的两条直线垂直,则l⊥αB.若直线l不垂直于α,则α内没有与l垂直的直线C.若直线l不垂直于α,则α内也可以有无数条直线与l垂直D.过一点和已知平面垂直的直线有且只有一条解析:当l与α内的两条直线垂直时,不能保证l与α垂直,故A错误;当l与α不垂直时,l也可以与α内的无数条直线垂直,故B错误,C正确;D正确.答案:CD

直线与平面垂直的定义的理解(1)直线与平面垂直的定义具有两重性,既是判定又是性质;(2)判定定理中要注意必须是平面内两相交直线;(3)直线与平面内任意直线都垂直,不是有限条,也不是无数条;(4)直线与平面不垂直,也可以与平面内无数条直线垂直.

【变式训练1】若直线a⊥平面α,直线b∥α,则a与b的关系为()A.a⊥b,且a与b相交 B.a⊥b,且a与b不相交C.a⊥b D.a与b不一定垂直解析:空间想象,a,b有相交垂直和异面垂直两种情况.答案:C

探究二直线与平面垂直的判定定理【例2】如图,直角三角形ABC所在平面外有一点S,且SA=SB=SC,D为斜边AC的中点.求证:SD⊥平面ABC.证明:因为SA=SC,D为AC的中点,所以SD⊥AC.在Rt△ABC中,有AD=DC=BD,已知SA=SB,SD=SD,所以△ADS≌△BDS.所以∠BDS=∠ADS=90°,即SD⊥BD.又AC∩BD=D,AC,BD?平面ABC,所以SD⊥平面ABC.

若本例中添加条件“AB=BC”,此时BD⊥平面SAC又如何证明?证明:因为AB=BC,D为AC的中点,所以BD⊥AC.又由上题可知SD⊥BD,于是BD垂直于平面SAC内的两条相交直线,所以BD⊥平面SAC.

应用线面垂直的判定定理时,应注意事项(1)要判定一条直线和一个平面是否垂直,取决于在这个平面内能否找到两条相交直线和已知直线垂直,至于这两条相交直线是否和已知直线有公共点,这是无关紧要的.(2)判定定理在应用时,切实要抓住“相交”二字,它把线面垂直转化为线线垂直.即“l⊥a,l⊥b,a?α,b?α,a∩b=A?l⊥α”.

探究三直线与平面所成的角【例3】如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E是棱DD1的中点.求直线BE与平面ABB1A1所成的角的正弦值.

解:如图,取AA1的中点M,连接EM,BM,因为E是DD1的中点,四边形ADD1A1