人教A版高中数学选择性必修第二册精品课件 第5章 一元函数的导数及其应用 习题课——函数最值的应用.pptVIP

习题课——函数最值的应用第五章

内容索引010203自主预习新知导学合作探究释疑解惑随堂练习

课标定位素养阐释1.会求含参数的函数的最值.2.掌握利用导数证明不等式的方法.3.会利用导数解决不等式中的恒成立问题.4.会用导数解决一些实际问题.5.通过研究函数最值的应用,提升直观想象、逻辑推理与数学运算素养.

自主预习新知导学

一、利用导数证明不等式的方法1.(1)证明f(x)g(x),x∈(a,b),可以构造函数F(x)=f(x)-g(x),当F(x)的最大值存在时,利用F(x)的单调性求最大值,证明F(x)max0.(2)证明f(x)g(x),x∈(a,b),可以构造函数F(x)=f(x)-g(x),当F(x)的最小值存在时,利用F(x)的单调性求最小值,证明F(x)min0.

2.证明不等式:ex≥1+x.证明:设函数f(x)=ex-1-x,则f(x)=ex-1.令f(x)=0,得x=0.当x0时,f(x)0,函数f(x)在区间(0,+∞)内单调递增;当x0时,f(x)0,函数f(x)在区间(-∞,0)内单调递减.所以函数f(x)在x=0处取得极小值,也是最小值.故f(x)≥f(0)=0,从而ex≥1+x.

二、利用导数解决不等式的恒成立问题的策略1.(1)构造函数法,利用导数求出所构造的函数的最大(小)值,转化为关于最大(小)值的不等式,求出参数的取值范围.(2)分离参数法,把参数(或关于参数的代数式)分离到不等式的一边,另一边构造函数,求出所构造函数的最大(小)值,解关于参数的不等式即可.

2.设函数f(x)=x2ex,当x∈[-2,2]时,不等式f(x)m恒成立,则实数m的取值范围是.?令f(x)=0,得x=0或x=-2.当x变化时,f(x),f(x)随x的变化情况如下表.因此,当x=0时,f(x)min=f(0)=0,要使f(x)m对x∈[-2,2]恒成立,只需mf(x)min,即m0.答案:(-∞,0)x(-2,0)0(0,2)f(x)-0+f(x)单调递减极小值单调递增

三、解决实际问题的基本思路1.实际问题→用函数表示的数学问题↓实际问题的答案←用导数解决数学问题

2.(1)要做一个圆锥形漏斗,其母线长为20cm,若使其体积最大,则高应为()(2)用长为18m的钢条围成一个长方体形状的框架,要求长方体的长与宽之比为2∶1,则该长方体的最大体积是.?

解析:(1)设高为hcm,0h20,体积为Vcm3,则底面半径的平方r2=202-h2=400-h2.

令V=0,得x=0(舍去)或x=1.根据V=-6x3+9x2的单调性,可知V=-6x3+9x2在x=1处取得极大值也是最大值.故当该长方体的长、宽、高分别为2m,1m,1.5m时,体积最大,最大体积为3m3.答案:(1)A(2)3m3

【思考辨析】判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号里画“√”,错误的画“×”.×√×

合作探究释疑解惑

探究一证明不等式【例1】当x0时,证明不等式:1+2xe2x.证明:设f(x)=1+2x-e2x,则f(x)=2-2e2x=2(1-e2x).∵当x0时,f(x)=2(1-e2x)0,∴函数f(x)=1+2x-e2x在区间(0,+∞)内单调递减.∴当x0时,f(x)f(0)=0,即1+2x-e2x0,即1+2xe2x.

反思感悟利利用导数法证明不等式的思路(1)若f(x)的最小值存在,要证明f(x)a成立,只需证明f(x)mina即可.(2)若要证明f(x)g(x)在区间D上成立,基本方法是先构造函数h(x)=f(x)-g(x)(h(x)在区间D上存在最小值),再根据函数h(x)在区间D上的单调性证明h(x)min0(x∈D).

【变式训练1】证明不等式lnxxex(x0).证明:先证lnxx(x0).令f(x)=0,解得x=1.当0x1时,f(x)0,函数f(x)在区间(0,1)内单调递减;当x1时,f(x)0,函数f(x)在区间(1,+∞)内单调递增.所以当x=1时,函数f(x)有极小值,也是最小值,最小值为f(1)=10.所以f(x)=x-lnx0,从而xlnx.再证xex.设g(x)=ex-x,则g(x)=ex-1.当x0时,g(x)0,所以g(x)在区间(0,+∞)内为增函数.所以g(x)g(0)=10,即ex-x0,即exx.综上,lnxxex(x0).

探究二不等式恒成立问题【例2】已知函数f(x)=x3-x2-2x+c,若对x∈[-1,2],不等式f(x)c2恒成立,求c的取值范围.

当x=1时,函数f(x)取得极小值.又f(2)=2+c,∴函数f(x)在区间[-1,2]上的最大值为f(2)=2+c.要使f(x)