2.4.2 简单幂函数的图象和性质.DOCXVIP

4函数的奇偶性与简单的幂函数

4.2简单幂函数的图象和性质

【必威体育精装版课标】通过具体实例，结合y＝x，y＝1x，y＝x2，y＝x，y＝x3的图象

新知初探·自主学习

教材要点

要点一幂函数的概念

一般地，形如________(α为常数)的函数，即底数是自变量、指数是常数的函数称为幂函数．

要点二幂函数的图象和性质

函数

y＝x

y＝x2

y＝x3

y＝x

y＝1

定义域

R

R

R

________

________

值域

R

________

R

________

________

奇偶性

奇函数

________

________

非奇非

偶函数

________

单调性

在R上单调递增

在________上单调递减，在________上单调递增

在____上单调递增

在________上单调递增

在(－∞，0)和(0，＋∞)上单调递减

图象

过定点

_______________________

__________

状元随笔幂函数在区间(0，＋∞)上，当α0时，y＝xα是增函数；当α0时，y＝xα是减函数．

基础自测

1.判断正误．(正确的画“√”，错误的画“×”)

(1)幂函数的图象都过点(0，0)，(1，1)．()

(2)幂函数的图象一定不能出现在第四象限，但可能出现在第二象限．()

(3)当幂指数α取1，3，12时，幂函数y＝xα是增函数.(

(4)当幂指数α＝－1时，幂函数y＝xα在定义域上是减函数．()

(5)当α＝0时，幂函数y＝xα的图象是一条直线．()

(6)若幂函数y＝xα的图象关于原点对称，则y＝xα在定义域上y随x的增大而增大．()

2．在函数y＝1x4，y＝3x2，y＝x2＋2x，y＝1中，幂函数的个数为(

A．0B．1C．2D．3

3．[多选题]已知幂函数f(x)＝xα(α是常数)，下列说法错误的是()

A．f(x)的定义域为R

B．f(x)在(0，＋∞)上单调递增

C．f(x)的图象一定经过点(1，1)

D．f(x)的图象有可能经过点(1，－1)

4．已知幂函数y＝f(x)的图象过点(3，3)，则f(9)＝________．

课堂探究·素养提升

题型1幂函数的概念——自主完成

1.下列函数：①y＝x3；②y＝(12)x；③y＝4x2；④y＝x5＋1；⑤y＝x-12；⑥y＝x；⑦y＝ax(a

其中幂函数的个数为()

A．1B．2C．3D．4

2．若函数y＝(m2＋2m－2)xm为幂函数且在第一象限为增函数，则m的值为()

A．1B．－3C．－1D．3

3．已知幂函数f(x)的图象经过点(3，19)，则f(4)＝________

方法归纳

(1)幂函数的判断方法

①幂函数是一种“形式定义”的函数，也就是说必须完全具备形如y＝xα(α∈R)的函数才是幂函数．

②如果函数解析式以根式的形式给出，则要注意把根式化为分数指数幂的形式进行化简整理，再对照幂函数的定义进行判断．

(2)求幂函数解析式的依据及常用方法

①依据．

若一个函数为幂函数，则该函数应具备幂函数解析式所具备的特征，这是解决与幂函数有关问题的隐含条件．

②常用方法．

设幂函数解析式为f(x)＝xα，根据条件求出α.

题型2幂函数的图象及应用——师生共研

例1(1)函数y＝x13的图象是(

(2)幂函数y＝xm，y＝xn，y＝xp，y＝xq的图象如图，则将m，n，p，q的大小关系用“”连接起来结果是________．

方法归纳

解决幂函数图象问题应把握的两个原则

(1)依据图象高低判断幂指数大小，相关结论为：在(0，1)上，指数越大，幂函数图象越靠近x轴(简记为指大图低)；在(1，＋∞)上，指数越大，幂函数图象越远离x轴(简记为指大图高)．

(2)依据图象确定幂指数α与0，1的大小关系，即根据幂函数在第一象限内的图象(类似于y＝x－1或y＝x12或y＝x3

跟踪训练1(1)如图，曲线是幂函数y＝xn在第一象限的图象．已知n取±2，12三个值，则相应于曲线c1，c2，c3的n值依次为(

A．－2，12，2 B．2，12

C．－2，2，12 D．2，－2，

(2)当α∈-1，12，1，2，

题型3幂函数的性质及其应用——微点探究

微点1比较大小

例2把23-13，3512，25

状元随笔比较幂的大小的关键是弄清底数与指数是否相同．若指数相同，则利用幂函数的单调性比较大小；若底数、指数均不同，则考虑用中间值法比较大小，中间值可以是“0”或“1”．

微点2解不等式

例3已知(a＋1)－1(3－2a)－1，求a的取值范围．

状元随笔(a＋1)－1和(3