5.1.1 利用函数性质判定方程解的存在性.DOCXVIP

§1方程解的存在性及方程的近似解

【必威体育精装版课标】(1)结合学过的函数图象，了解函数零点与方程解的关系．

(2)结合具体连续函数及图象的特点，了解函数零点存在定理，探索用二分法求方程近似解的思路，能借助计算工具用二分法求方程近似解，了解用二分法求方程近似解具有一般性．

1．1利用函数性质判定方程解的存在性

新知初探·自主学习

教材要点

要点一函数的零点

1．零点的定义

使得________________称为方程f(x)＝0的解，也称为函数f(x)的零点．

2．方程的根与函数零点的关系

要点二零点存在定理

若函数y＝f(x)在闭区间[a，b]上的图象是一条________的曲线，并且在区间端点的函数值一正一负，即________0，则在开区间(a，b)上，函数y＝f(x)至少有一个零点，即在区间(a，b)上相应的方程f(x)＝0至少有一个解．

状元随笔(1)一个函数y＝f(x)在区间(a，b)上有零点必须同时满足：①函数f(x)在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线；②f(a)·f(b)0.这两个条件缺一不可．可从函数y＝1x来理解，易知f(－1)·f(1)＝－1×10，但显然y＝1x在(－1，

(2)零点存在定理只能判断出零点的存在性，而不能判断出零点的个数．如图(1)(2)，虽然都有f(a)·f(b)0，但图(1)中函数在区间(a，b)上有4个零点，图(2)中函数在区间(a，b)上仅有1个零点．

(3)零点存在定理是不可逆的，因为f(a)·f(b)0可以推出函数y＝f(x)在区间(a，b)上存在零点．但是，已知函数y＝f(x)在区间(a，b)上存在零点，不一定推出f(a)·f(b)0.如图(3)，虽然在区间(a，b)上函数有零点，但f(a)·f(b)0.

(4)如果单调函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)·f(b)0，那么函数y＝f(x)在区间(a，b)上有唯一的零点，即存在唯一的c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的根．

基础自测

1.判断正误．(正确的画“√”，错误的画“×”)

(1)所有的函数都有零点．()

(2)若方程f(x)＝0有两个不等实根x1，x2，则函数y＝f(x)的零点为(x1，0)，(x2，0)．()

(3)若函数y＝f(x)在区间(a，b)上有零点，则一定有f(a)·f(b)0.()

(4)函数y＝2x－1的零点是12.(

2．函数f(x)＝ln(x＋1)－2x的零点所在的一个区间是(

A．(0，1)B．(1，2)C．(2，3)D．(3，4)

3．函数f(x)＝x3－x的零点个数是()

A．0B．1C．2D．3

4．若函数f(x)＝x2－ax－b的两个零点是2和3，则函数g(x)＝bx2－ax－1的零点是________．

课堂探究·素养提升

题型1函数零点的概念及求法——自主完成

1．下列图象表示的函数中没有零点的是()

2．如果函数f(x)＝ax＋b有一个零点是2，那么函数g(x)＝bx2－ax的零点是()

A．0，2B．0，12C．0，－12D．2

3．函数f(x)＝x－1x的零点是________

4．函数f(x)＝log2x－1的零点为________．

方法归纳

函数零点的求法

求函数y＝f(x)的零点通常有两种方法：其一是令f(x)＝0，根据解方程f(x)＝0的根求得函数的零点；其二是画出函数y＝f(x)的图象，图象与x轴的交点的横坐标即为函数的零点．

题型2函数零点个数的判断——师生共研

例1(1)函数f(x)＝lnx－1x-1的零点个数是(

A.0B．1C．2D．3

(2)已知函数f(x)＝2|x－1|＋x－a，若函数y＝f(x)有且仅有两个零点，则实数a的取值范围是________．画出函数y＝2|x－1|＋x与y＝a的图象．

方法归纳

1．确定函数零点个数的方法：

①结合零点存在定理和函数单调性；

②转化为两个函数图象的交点个数．

2．已知函数零点个数求参数范围的常用方法

跟踪训练1(1)函数f(x)＝x+2，x0，x

A．0B．1C．2D．3

(2)若函数f(x)＝2x-a，x≤0

题型3函数零点所在区间的判断——微点探究

微点1确定零点所在区间

例2方程log3x＋2x－8＝0的解所在区间是()

A．(1，2)B．(2，3)C．(3，4)D．(5，6)

方法归纳

判断函数零点所在区间的三个步骤

(1)代入：将区间端点值代入函数求出函数的值．

(2)判断：把所得的函数值相乘，并进行符号判断．

(3)结论：若符号为