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数形结合思想在初中数学中的解题应用

【摘要】数形结合思想是一种重要的数学思想。数形结合就是把抽象的数学

语言、数量关系与直观的几何图形、位置关系结合起来，通过“以形助数”或“以

数解形”即通过抽象思维的结合，可以使复杂问题简单化，抽象问题具体化，从

而起到优化解题途径的目的，有些数量关系直观化，形象化，简单化。而图形的

一些性质借助于数量的计量和分析，得于严谨化。

【关键词】数学思想；数形结合；以形助数；以数解形

数形结合的思想方法是数学教学内容的主体之一。数与形的结合可以使某些

抽象的数学问题直观化，能够把抽象思维转化为形象思维，有助于把生活实际问

题转化为数学问题，建立数学模型，从而把实际的问题迎刃而解，起到画龙点睛

的作用。

在新课改后，在初中数学教学中应用到数形结合思想进行教学的内容占的比

例较大。主要体现在：①实数与数轴上的点的对应关系②方程与方程组③不等式

与不等式组④函数问题⑤概率与统计⑥图形的相似及坐标，下面我们就通过具体

的例子来加以说明这一直观的数学思想方法的具体应用

1.实数与数轴

1.1实数包括有理数和无理数。而有理数和无理数都可以在数轴上表示，反

之数轴上的每一个点都对应着某一个有理数或无理数。所以实数与数轴上的点是

一一对应的关系，这时若要向学生解释一一对应的关系，可以采用数形结合的方

法呈现给学生。

案例一：如图（1）

在数轴上除了有-1，-2，0，1，2，…有理数之外还存在着无理数，如

以坐标圆点为顶点，以单位“1”的长度作正方形，则对角线的长度为，再以0点

为圆心，对角线的长为半径画弧线与数轴交于点B，所以B点表示的数就是无理

数，以此类推，我们还可以得到，-，…等更多的无理数，因此有理数和无

理数就把数轴上的所有点填满了，所以实数与数轴上的点是一一对应的关系。并

且数轴上的数从左到右逐渐增大

案例二：如图（2）在数轴上：

分析：在案例二的第二个问题中，是把形化为数，这是解决此类问题的突破

口，也就是解题的瓶颈，只有利用形与数的完美结合与互化才能解决此类问题，

体现了数形结合的思想价值。

1.2相反数与绝对值

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相反数是指只有符号不同的两个数互为相反数，而绝对值是指一个数离开坐

标原点的长度单位（注0的相反数与绝对值都是它本身），在相反数与绝对值的

数学过程中，如果采用数形结合的方法进行教学，那么取得的教学效果是事半功

倍。如图（2）中，1的相反数是-1，-2的相反数是2，的相反数是-，4的相反

数是-4，

∣1∣=1∣-2∣=2∣-3∣=3

由此我们还可以得出结论：①数轴上的数从左到右逐渐增大，②对于负数绝

对值越大的数反而越小，③负数的绝对值等于它的相反数，正数的绝对值等于它

本身，④互为相反数的两个数绝对值相等。在案例一，案例二中，如果我们只采

用“数”的方法讲解，而不采用“数与形”结合的方式，学生是很难理解的，只有把

数与形互相结合起来，真正做到直观化，形象化，学生就能够一目了然，由此我

们还可以把问题由特殊化转为一般化，就可以很轻松的得到结论

解。反之，如果在平面直角坐标系中，

知道了两条直线L1和L2的交点坐标，也可以根据交点坐标得出相应的方

程组。

3.解决一元一次不等式（组）和一次函数结合的问题

在近几年中，考