高中数学同步教学课件　空间向量运算的坐标表示.pptx

1.3.2空间向量运算的坐标表示第一章1.3空间向量及其运算的坐标表示

课标要求1.掌握空间向量的线性运算及其坐标表示.2.掌握空间向量的数量积及其坐标表示.3.能利用空间两点间的距离公式解决有关问题.

前面我们通过引入空间直角坐标系，将空间向量的坐标与空间点的坐标一一对应起来，那么有了空间向量的坐标表示，类比平面向量的坐标运算，同学们是否可以探究出空间向量运算的坐标表示并给出证明？引入

课时精练一、空间向量运算的坐标表示二、空间向量平行、垂直的坐标表示三、空间夹角、距离的计算课堂达标内容索引

空间向量运算的坐标表示一

探究1设平面向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a＋b，a－b，λa，a·b的运算结果分别是什么？ 提示a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)，a－b＝(x1－x2，y1－y2)，λa＝(λx1，λy1)，a·b＝x1x2＋y1y2.

探究2有了空间向量的坐标表示，你能类比平面向量的坐标运算，得出空间向量运算的坐标表示并给出证明吗？提示设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，与平面向量运算的坐标表示一样，我们有：a＋b＝(a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3)，a－b＝(a1－b1，a2－b2，a3－b3)，λa＝(λa1，λa2，λa3)，λ∈R，a·b＝a1b1＋a2b2＋a3b3.

下面我们证明空间向量数量积运算的坐标表示.设{i，j，k}为空间的一个单位正交基底，则a＝a1i＋a2j＋a3k，b＝b1i＋b2j＋b3k，所以a·b＝(a1i＋a2j＋a3k)·(b1i＋b2j＋b3k).利用向量数量积的分配律以及i·i＝j·j＝k·k＝1，i·j＝j·k＝k·i＝0，得a·b＝a1b1＋a2b2＋a3b3.由上述结论可知，空间向量运算的坐标表示与平面向量运算的坐标表示是完全一致的.

1.空间向量的坐标：一个空间向量的坐标等于表示此向量的有向线段的______________________.知识梳理终点坐标减去起点坐标

2.设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则有向量运算坐标表示加法a＋b＝_________________________减法a－b＝_________________________数乘λa＝________________________数量积a·b＝___________________(a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3)(a1－b1，a2－b2，a3－b3)(λa1，λa2，λa3)，λ∈Ra1b1＋a2b2＋a3b3

温馨提示(1)运用公式可以简化运算：(a±b)2＝a2±2a·b＋b2；(a＋b)·(a－b)＝a2－b2.(2)向量线性运算的结果仍是向量；数量积的结果为数量.

例1设B(x，y，z)，C(x1，y1，z1)，

所以点B的坐标为(6，－4，5).

关于空间向量坐标运算的两类问题(1)直接计算问题首先将空间向量用坐标表示出来，然后准确运用空间向量坐标运算公式计算.(2)由条件求向量或点的坐标首先把向量坐标形式设出来，然后通过建立方程组，解方程组求出其坐标.思维升华

(1)已知a＝(－1，2，1)，b＝(2，0，1)，则(2a＋3b)·(a－b)＝________.训练1－4易得2a＋3b＝(4，4，5)，a－b＝(－3，2，0)，则(2a＋3b)·(a－b)＝4×(－3)＋4×2＋5×0＝－4.

(2)若向量a＝(1，1，x)，b＝(1，2，1)，c＝(1，1，1)，且满足条件(c－a)·(2b)＝－2，则x＝________.据题意，有c－a＝(0，0，1－x)，2b＝(2，4，2)，故(c－a)·(2b)＝2(1－x)＝－2，解得x＝2.2

空间向量平行、垂直的坐标表示二

探究3设平面向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b，a⊥b的充要条件分别是什么？那么对于空间向量是不是也有类似的结论？ 提示a∥bx1y2－x2y1＝0， a⊥bx1x2＋y1y2＝0. 对于空间向量也有类似的结论(如下知识梳理).

知识梳理设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则有：(1)平行关系：当b≠0时，a∥ba＝λb________，，(λ∈R).(2)垂直关系：a⊥ba·b＝0a1b1＋a2b2＋a3b3＝0.a1＝λb1a2＝λb2a3＝λb3

温馨提示

例2已知空间三点A(－2，0，2)，B(－1，1，2)，C(－3，0，4)，

(2)若ka＋b与ka－2b互相垂直，求k.

例3如图，建立空间直角坐标系，设AC∩BD＝N，连接NE，

思维升华(1)判断两向量是否平行或垂直可直接利用向量平行或垂直的充要条