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2024年中考数学答题技巧与模板构建—新函数图象与性质探究

了解和掌握新函数的图象和性质出题形式和考试方向；学会运用新函数的相关性质进行研究；了解和掌握含绝对值的新函数、分段函数及与函数结合的实际应用是本专题知识点的关键。新函数图象与性质的探究题型既考查学生对于函数图象与性质的理解，又考查学生对实际问题和几何图形的分析能力以及作图能力，新函数图象与性质的探究题大致可归纳为3种类型：(1)函数图象的变形；(2)实际情景中新函数图象与性质的探究；(3)与几何结合的新函数的图象与性质．本专题主要对新函数图象探究题型进行总结，对其解法进行归纳总结，所选题型为近几年期末考试中的常考题型。

模型01新函数问题

通过对以往函数的学习，在所学函数的基础上构建新的函数形式，对对应变量的函数关系进行有关函数图象及性质的探究及运用。考查学生对函数图象、函数性质以及与函数图象结合的相关知识的综合掌握和运用，充分体现了数学与图形结合的密切联系，属于中考的一种常考题型。

模型02函数与几何结合问题

函数与几何结合的模型，主要是为了研究几何中角度、线段长度或则图形面积等通过常规方式不容易求解对应数量时，我们借助函数模型进行探究。在解题中抽象出对应变量的函数关系进行有关函数图象及性质的探究及运用，综合考查学生对几何有关图形性质、定理知识以及函数的图象等知识的综合掌握和运用能力。

模型03函数实际应用问题

函数的实际应用问题中通过对实际情景问题中抽象出对应变量的函数关系进行有关函数图象及性质的探究及运用．考查学生对几何有关图形性质、定理知识以及函数的图象等知识的综合掌握和运用，充分体现了数学与实际生活的密切联系，属于中考的一种常考题型。

模型01新函数问题

考｜向｜预｜测

新函数问题该题型近年主要以解答题型出现，解决这类问题的关键是对初中阶段学习的一次函数、反比例函数、二次函数的定义图象和性质充分了解，然后结合几类函数的图形和性质特点进行演变分析。在所学函数的基础上构建新的函数形式，对对应变量的函数关系进行有关函数图象及性质的探究及运用。答｜题｜技｜巧

第一步：

观察新函数特点（表达式特点、图象特点），结合所学基本函数特征进行分析；

第二步：

确定函数图象（注意列表、描点、）；

第三步：

结合函数性质进行研究（对称性、增减性、最值）；

第四步：

对对应变量的函数关系进行有关函数图象及性质的探究及运用；

例1．（2023·广西）中考新考法：注重过程性学习，某数学小组在研究函数时，对函数的图象进行了探究，探究过程如下：

…

1

2

3

…

…

3

4

6

1

…

??

(1)①与的几组对应值如下表，请补全表格；

②在上图平面直角坐标系中，描出上表中各组对应值为坐标的点，并根据描出的点画出该函数的图象；

(2)我们知道，函数的图象是由二次函数的图象向右平移个单位，再向上平移个单位得到的．类似地，请直接写出将的图象经过怎样的平移可以得到的图象；

(3)若一次函数的图象与函数的图象交于两点，连接，求的面积．

【答案】(1)见解析，

(2)向左平移1个单位，向上平移2个单位

(3)

【详解】（1）当时，，

补全表格为：

…

1

2

3

…

…

3

4

6

1

…

图象如下：

??

（2）的图象向左平移1个单位，向上平移2个单位可以得到的图象；

（3）一次函数的图象，如图，可知，

∴的面积为．

??

模型02函数与几何结合问题

考｜向｜预｜测

函数与几何结合问题主要是借助函数模型进行探究几何问题，对实际几何问题中抽象出对应变量的函数关系进行有关函数图象及性质的探究及运用。该题型在考试中主要以解答题的形式出现，具有一定的难度，除了考查学生对几何有关图形性质、定理知识外，对函数的图象与性质等也需要真正理解，充分体现了数学与实际生活的密切联系，属于中考的一种常考题型。

答｜题｜技｜巧

第一步：

理解题意，找到实际情境的数学模型；

第二步：

从学过的基础函数入手，建立函数关系；

第三步：

利用函数的性质，从特殊到一般的探究学习；

第四步：

按照题意设计灵活运用所学知识逐次解决问题；

例1．（2023·湖南）【教材再现】：北师大版九年级上册数学教材第122页第21题：“怎样把一块三角形的木板加工成一个面积最大的正方形桌面？”某小组同学对此展开了思考．

（1）若木板的形状是如图（甲）所示的直角三角形，，，根据“相似三角形对应的高的比等于相似比”可以求得此时正方形的边长是________．

【问题解决】：若木板是面积仍然为的锐角三角形，按照如图（乙）所示的方式加工，记所得的正方形的面积为，如何求的最大值呢？某学习小组做了如下思考：

设，，边上的高，则，，由得：，从而可以求得，若要内接正方形面积最大，即就是求的最大值，因为为定值，因此只需要分母最小即可．

（2）小组同学借鉴研究